Задача 76. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, пересекаются в точке Н, причем ∠АНВ = 120°, а биссектрисы, проведенные из вершин В и С, в точке К, причем ∠ВКС = 130°. Найдите угол АВС.

Решение:

Обозначим углы треугольника ABC как \( \alpha, \beta, \gamma \) соответственно. В треугольнике AHB, \( \angle HAB = 90° - \angle B \) и \( \angle HBA = 90° - \angle A \).

В треугольнике AHB, сумма углов равна 180°:

\( \angle AHB + \angle HAB + \angle HBA = 180° \)

\( 120° + (90° - \beta) + (90° - \alpha) = 180° \)

\( 120° + 180° - \alpha - \beta = 180° \)

\( 120° = \alpha + \beta \)

В треугольнике BKC, \( \angle KBC = \frac{\beta}{2} \) и \( \angle KCB = \frac{\gamma}{2} \).

В треугольнике BKC, сумма углов равна 180°:

\( \angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180° \)

\( 130° + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180° \)

\( \frac{\beta + \gamma}{2} = 180° - 130° \)

\( \frac{\beta + \gamma}{2} = 50° \)

\( \beta + \gamma = 100° \)

В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°:

\( \alpha + \beta + \gamma = 180° \)

Подставим \( \beta + \gamma = 100° \) в это уравнение:

\( \alpha + 100° = 180° \)

\( \alpha = 180° - 100° \)

\( \alpha = 80° \)

Теперь найдем \( \beta \) используя \( \alpha + \beta = 120° \):

\( 80° + \beta = 120° \)

\( \beta = 120° - 80° \)

\( \beta = 40° \)

Проверим \( \beta + \gamma = 100° \): \( 40° + \gamma = 100° \) => \( \gamma = 60° \).

Углы треугольника ABC: \( \alpha = 80°, \beta = 40°, \gamma = 60° \). Все углы острые, что соответствует условию остроугольного треугольника.

Угол ABC равен \( \beta \).

Ответ: Угол ABC равен 40°.