Задача 73. Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС за точку В в точках К, L и М соответственно. При этом треугольники CKL и BML получаются также равнобедренными. Найдите их углы.

Решение:

Пусть \( \angle ABC = \angle ACB = \alpha \) и \( \angle BAC = \beta \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( \angle ABC = \angle ACB \).

Прямая проходит через точки \( K, L, M \).

\( K \) — точка пересечения с боковой стороной \( AC \).

\( L \) — точка пересечения с основанием \( BC \).

\( M \) — точка пересечения с продолжением боковой стороны \( AB \) за точку \( B \).

\( \triangle CKL \) — равнобедренный.

\( \triangle BML \) — равнобедренный.

Рассмотрим \( \triangle BML \). \( BM \) — продолжение \( AB \). \( BL = BC \) (так как \( L \) лежит на \( BC \) и \( BC \) — основание).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = AC \).

Рассмотрим \( \triangle BML \).

\( \angle MBL = 180^{\circ} - \angle ABC \) (как смежные углы).

Так как \( \triangle BML \) равнобедренный, \( \angle BML = \angle BLM \).

\( \angle BML + \angle BLM + \angle MBL = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle BML + 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle BML = \angle ABC \).

\( \angle BML = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \alpha \).

Значит, \( \angle BLM = \frac{1}{2} \alpha \).

Теперь рассмотрим \( \triangle CKL \).

\( KL \) — прямая, проходящая через \( K, L, M \).

\( \angle CLK = \angle BLM \) (как вертикальные углы).

Значит, \( \angle CLK = \frac{1}{2} \alpha \).

Так как \( \triangle CKL \) равнобедренный, \( \angle CKl = \angle CLK = \frac{1}{2} \alpha \).

\( \angle KCL = \angle ACB = \alpha \).

Сумма углов в \( \triangle CKL \): \( \angle CKL + \angle CLK + \angle KCL = 180^{\circ} \).

\( \angle CKL + \frac{1}{2} \alpha + \alpha = 180^{\circ} \).

\( \angle CKL + \frac{3}{2} \alpha = 180^{\circ} \).

\( \angle CKL = 180^{\circ} - \frac{3}{2} \alpha \).

Из условия, \( \triangle CKL \) равнобедренный, поэтому \( \angle CKl = \angle CLK \). Но мы получили \( \angle CKl = 180^{\circ} - \frac{3}{2} \alpha \) и \( \angle CLK = \frac{1}{2} \alpha \).

Значит, \( 180^{\circ} - \frac{3}{2} \alpha = \frac{1}{2} \alpha \).

\( 180^{\circ} = 2 \alpha \).

\( \alpha = 90^{\circ} \).

Это невозможно для равнобедренного треугольника \( ABC \) (сумма углов равна \( 180^{\circ} \), два угла равны \( 90^{\circ} \), третий \( 0^{\circ} \)).

Переосмыслим условие:

\( \triangle ABC \) - равнобедренный. \( AB = AC \).

\( \triangle CKL \) - равнобедренный.

\( \triangle BML \) - равнобедренный.

Пусть \( \angle BAC = \beta \). Тогда \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - \beta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

Рассмотрим \( \triangle BML \).

\( \triangle BML \) равнобедренный. \( BM \) — продолжение \( AB \). \( L \) лежит на \( BC \).

\( \boldsymbol{ \boldsymbol{\angle MBL} = 180^{\circ} - \boldsymbol{\angle ABC} = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 90^{\circ} + \frac{\beta}{2} } \).

Так как \( \triangle BML \) равнобедренный, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM}} = \frac{180^{\circ} - \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL}}}{2} = \frac{180^{\circ} - (90^{\circ} + \frac{\beta}{2})}{2} = \frac{90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}{2} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle CKL \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM}} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \) (вертикальные углы).

Так как \( \triangle CKL \) равнобедренный, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ACB} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}} \).

Сумма углов в \( \triangle CKL \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} + \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} + \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 180^{\circ}}} \).

\( (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} \).

\( 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} + 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} = 180^{\circ} \).

\( 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} \).

\( \beta = 0^{\circ} \). Это невозможно.

Предположим, что \( \triangle CKL \) равнобедренный с \( CK = CL \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}} \).

\( (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} \) - это опять \( 180 - \beta = 180 \), что даёт \( \beta = 0 \).

Возможен другой вариант равнобедренности для \( \triangle CKL \).

Вариант 1: \( CK = CL \). Это привело к \( \beta = 0 \).

Вариант 2: \( CK = KL \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} + \beta = \beta} \).

Известно, что \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

Значит, \( 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4} \).

\( 45^{\circ} = \frac{\beta}{4} \).

\( \beta = 180^{\circ} \). Невозможно.

Вариант 3: \( CL = KL \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} + \beta = \beta} \).

Известно, что \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

Значит, \( \beta = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4} \).

\( \frac{5\beta}{4} = 45^{\circ} \).

\( \beta = 45^{\circ} \times \frac{4}{5} = 36^{\circ} \).

Если \( \boldsymbol{\boldsymbol{\beta = 36^{\circ}}} \), то \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ABC} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ACB} = 90^{\circ} - \frac{36^{\circ}}{2} = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}}} \).

Углы \( \triangle BML \):

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL} = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}}} \).

Углы \( \triangle CKL \):

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = 36^{\circ}}} \) (вертикальные).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 72^{\circ}} \).

Так как \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} \neq \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \), то \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный с \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \) невозможно.

Значит, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный с \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 36^{\circ}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 180^{\circ} - (\boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} + \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}})} = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}} \).

Но \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ACB} = 72^{\circ}}} \).

Это противоречие. Значит, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный с \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \) невозможно.

Возможен случай, когда \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный с \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 72^{\circ}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}} \).

Тогда \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 72^{\circ}} \), но \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \).

\( 72^{\circ} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4} \).

\( 27^{\circ} = - \frac{\beta}{4} \). Невозможно.

Проверим условия еще раз.

\( \triangle ABC \) равнобедренный. \( AB = AC \).

\( \triangle CKL \) равнобедренный.

\( \triangle BML \) равнобедренный.

Угол при вершине \( A \) — \( \beta \). Углы при основании \( \angle ABC = \angle ACB = \alpha = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

В \( \triangle BML \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL} = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 90^{\circ} + \frac{\beta}{2}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = \frac{180^{\circ} - (90^{\circ} + \frac{\beta}{2})}{2} = \frac{90^{\circ} - \frac{\beta}{2}}{2} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}}} \).

В \( \triangle CKL \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}}} \) (вертикальные).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = \alpha = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}} \).

Так как \( \triangle CKL \) равнобедренный, есть 3 случая:

1. \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}}} \). Тогда \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 45^{\circ} - \frac{\beta}{4}} \). Сумма углов: \( (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} \), что дает \( 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} \), \( \beta = 0^{\circ} \) - невозможно.

2. \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \). Тогда \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}} \). Сумма углов: \( (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) + (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} \). \( 225^{\circ} - \frac{5\beta}{4} = 180^{\circ} \). \( 45^{\circ} = \frac{5\beta}{4} \). \( \beta = 36^{\circ} \).

Если \( \boldsymbol{\boldsymbol{\beta = 36^{\circ}}} \), то \( \boldsymbol{\boldsymbol{\alpha = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}}} \).

Углы \( \triangle BML \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL} = 108^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = 36^{\circ}}} \).

Углы \( \triangle CKL \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 36^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 72^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}} \).

В этом случае \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный с \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \).

3. \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \). Тогда \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2}} \). Сумма углов: \( (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) + (45^{\circ} - \frac{\beta}{4}) + (90^{\circ} - \frac{\beta}{2}) = 180^{\circ} \). \( 225^{\circ} - \frac{5\beta}{4} = 180^{\circ} \). \( 45^{\circ} = \frac{5\beta}{4} \). \( \beta = 36^{\circ} \). Этот случай совпадает со случаем 2.

Проверим, если \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( BC = AB = AC \) (равносторонний), то \( \alpha = \beta = 60^{\circ} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 30^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 60^{\circ}} \).

В \( \triangle CKL \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}} \).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \) равнобедренный. Возможные варианты:

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK}}} \) (\( 90^{\circ} = 30^{\circ} \) - неверно).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \) (\( 90^{\circ} = 60^{\circ} \) - неверно).

\( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL}}} \) (\( 30^{\circ} = 60^{\circ} \) - неверно).

Значит, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle ABC}} \) не равносторонний.

Из случая 2: \( \boldsymbol{\boldsymbol{\beta = 36^{\circ}}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\alpha = 72^{\circ}}} \).

Углы \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle CKL}} \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CLK} = 36^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle KCL} = 72^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle CKL} = 72^{\circ}} \).

Углы \( \boldsymbol{\boldsymbol{\triangle BML}} \): \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle MBL} = 108^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BML} = 36^{\circ}} \), \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle BLM} = 36^{\circ}} \).

Ответ: Углы треугольника CKL равны 36°, 72°, 72°. Углы треугольника BML равны 108°, 36°, 36°.