Задача 7. В единичном тетраэдре SABC постройте сечение, вершинами которого являются точки, делящие рёбра AB, BC и BS в отношении 4 : 1, считая от вершины B. Найдите площадь полученного сечения. Результат поделите на √3.

Обозначим точки на рёбрах AB, BC и BS соответственно через P, Q и R. По условию BP:PA = BQ:QC = BR:RS = 4:1.

Так как BP/BA = BQ/BC = BR/BS = 4/5, точки P, Q и R получаются из вершин A, C и S гомотетией с центром B и коэффициентом 4/5. Поэтому плоскость PQR параллельна грани ACS, а сечение — равносторонний треугольник PQR.

В единичном правильном тетраэдре сторона грани ACS равна 1. Следовательно, сторона сечения равна 4/5, и его площадь:

\[S_{PQR}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{4\sqrt{3}}{25}.\]

Делим площадь на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{S_{PQR}}{\sqrt{3}}=\frac{4}{25}=0.16.\]

Ответ: 0.16.