Задача 7.9. (4 балла) Какое наименьшее количество прямоугольников 3 × 4 и 1 × 7 нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.

Пусть использовано a прямоугольников размером 3 × 4 и b прямоугольников размером 1 × 7. Тогда площадь квадрата равна 12a + 7b, где a и b — положительные целые числа.

Проверим, при каком наименьшем значении a + b эта площадь может быть квадратом целого числа. Для суммарного количества от 2 до 6 ни одна из возможных площадей квадратом не является. При количестве 7 получаем:

При a = 3 и b = 4 площадь равна 3 · 12 + 4 · 7 = 64 = 8². Эти прямоугольники можно сложить в квадрат 8 × 8.

Ответ: 7 прямоугольников — три размером 3 × 4 и четыре размером 1 × 7.