Задача 6. В тетраэдре MABC ∠MBA = ∠CBM = 30°, BC = BA = 5, BM = AC = 2√3. Найдите площадь треугольника AMC. В ответ запишите значение площади треугольника AMC, умноженное на √3.

По теореме косинусов в треугольнике ABM:

\(AM^2=BA^2+BM^2-2\cdot BA\cdot BM\cos 30^\circ=25+12-20\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7\), значит, \(AM=\sqrt7\).

Аналогично, по теореме косинусов в треугольнике CBM, \(CM=\sqrt7\). Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, его боковые стороны равны \(\sqrt7\), а основание \(AC=2\sqrt3\).

Высота к основанию делит его пополам, поэтому её длина равна \(\sqrt{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}=2\). Тогда площадь треугольника AMC равна \(\frac12\cdot2\sqrt3\cdot2=2\sqrt3\).

Требуемое значение: \(2\sqrt3\cdot\sqrt3=6\).

Ответ: 6.