Задача 5.5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Решение:

Случай 1: Точка О лежит на прямой а (рис. 104, а).

1. Из точки О проводим окружность произвольным радиусом. Она пересекает прямую а в точках А и В.
2. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения.
3. Искомая прямая проходит через точки О и С.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АСО и ВСО. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (АС = ВС, АО = ВО — радиусы окружностей; СО — общая сторона). Следовательно, углы АСО и ВСО равны. Так как эти углы смежные, то каждый из них равен 90°, то есть ОС ⊥ АВ. А так как АВ — это прямая а, то ОС ⊥ а.

Случай 2: Точка О не лежит на прямой а (рис. 104, б).

1. Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а в точках А и В.
2. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О₁ — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О.
3. Искомая прямая проходит через точки О и О₁.

Доказательство:

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО₁. Рассмотрим треугольники АОВ и АО₁В. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (АО = АО₁, ВО = ВО₁ — радиусы окружностей; АВ — общая сторона). Следовательно, угол ОАС равен углу О₁АС. Тогда треугольники ОАС и О₁АС равны по первому признаку (АО = АО₁, угол ОАС = угол О₁АС, АС — общая сторона). Значит, их углы АСО и АСO₁ равны. А так как они смежные, то они прямые, то есть ОС ⊥ АВ. Таким образом, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

Ответ: Построена прямая ОС, перпендикулярная прямой а.