Задача 4 (Сложное встречное движение). Из городов М и Н, расстояние между которыми 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоциклист. Автомобиль двигался со скоростью на 20 км/ч большей, чем мотоциклист. Через 1,5 часа они еще не встретились, а расстояние между ними составляло 30 км. Найдите скорость каждого участника движения.

Решение:

Пусть \( v_м \) — скорость мотоциклиста (в км/ч).

Пусть \( v_а \) — скорость автомобиля (в км/ч).

По условию, автомобиль двигался быстрее мотоциклиста на 20 км/ч:

\[ v_а = v_м + 20 \]

Общее расстояние между городами \( S = 180 \) км.

Время движения \( t = 1.5 \) часа.

За это время мотоциклист проехал расстояние \( S_м = v_м × t = 1.5 v_м \) км.

За это время автомобиль проехал расстояние \( S_а = v_а × t = 1.5 v_а \) км.

После 1.5 часов движения расстояние между ними составило 30 км. Это означает, что суммарное расстояние, которое они проехали, плюс оставшееся расстояние между ними, равно общему расстоянию между городами:

\[ S_м + S_а + 30 = S \]

Подставляем известные значения:

\[ 1.5 v_м + 1.5 v_а + 30 = 180 \]

Вычтем 30 из обеих частей:

\[ 1.5 v_м + 1.5 v_а = 150 \]

Разделим обе части на 1.5:

\[ v_м + v_а = 100 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( v_а = v_м + 20 \)
2. \( v_м + v_а = 100 \)

Подставим первое уравнение во второе:

\[ v_м + (v_м + 20) = 100 \]

\[ 2v_м + 20 = 100 \]

Вычтем 20 из обеих частей:

\[ 2v_м = 80 \]

Разделим на 2:

\[ v_м = 40 \) км/ч.

Теперь найдем скорость автомобиля, используя первое уравнение:

\[ v_а = v_м + 20 = 40 + 20 = 60 \) км/ч.

Проверка:

Скорость мотоциклиста = 40 км/ч.

Скорость автомобиля = 60 км/ч.

Расстояние, пройденное мотоциклистом за 1.5 часа: \( 40 × 1.5 = 60 \) км.

Расстояние, пройденное автомобилем за 1.5 часа: \( 60 × 1.5 = 90 \) км.

Суммарное пройденное расстояние: \( 60 + 90 = 150 \) км.

Оставшееся расстояние между ними: \( 180 - 150 = 30 \) км. Это соответствует условию задачи.

Ответ: Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость автомобиля 60 км/ч.