Задача 4*. а) Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть даны два вертикальных угла \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\), образованные пересечением прямых \(AB\) и \(CD\) в точке \(O\).

Биссектриса \(OM\) угла \(\angle AOC\) делит его пополам. Биссектриса \(ON\) угла \(\angle BOD\) делит его пополам.

Вертикальные углы равны: \(\angle AOC =
\angle BOD\).

Так как \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\), то \(\angle AOM =
\angle MOC = \frac{1}{2}
\angle AOC\).

Так как \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\), то \(\angle BON =
\angle NOD = \frac{1}{2}
\angle BOD\).

Поскольку \(\angle AOC =
\angle BOD\), то и их половины равны: \(\angle MOC =
\angle NOD\).

Углы \(\angle MOC\) и \(\angle NOD\) являются вертикальными углами. При этом \(
\angle MOC\) и \(\angle MOD\) являются смежными углами, их сумма равна \(180^\).

Углы \(\angle MOC\) и \(\angle NOD\) образуют тупой угол \(\angle MON\) с развёрнутым углом. Углы \(\angle MOC\) и \(\angle COD\) — смежные, их сумма равна \(180^\).

Также, \(\angle AOC\) и \(\angle COB\) — смежные углы. \(\angle AOC +
\angle COB = 180^\). \(\angle BOD +
\angle COB = 180^\).

Рассмотрим прямые \(AB\) и \(CD\). Угол \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные. Угол \(\angle COB\) и \(\angle AOD\) — вертикальные.

Пусть \(\angle AOC =
\alpha\). Тогда \(\angle BOD =
\alpha\). \(\angle COB =
\beta\). \(\angle AOD =
\beta\). \(\alpha +
\beta = 180^\).

Биссектриса \(OM\) угла \(\angle AOC\) делит его на два угла по \(
\frac{
\alpha}{2}\).

Биссектриса \(ON\) угла \(\angle BOD\) делит его на два угла по \(
\frac{
\alpha}{2}\).

Теперь рассмотрим угол \(\angle AON\). Он состоит из \(\angle AOD\) и \(\angle DON\). \(\angle AON =
\beta +
\frac{
\alpha}{2}\).

Угол \(\angle COM\) равен \(
\frac{
\alpha}{2}\).

Рассмотрим угол \(\angle CON\). Он состоит из \(\angle COB\) и \(\angle BON\). \(\angle CON =
\beta +
\frac{
\alpha}{2}\).

Угол \(\angle MON\) состоит из \(\angle MOC\) и \(\angle CON\).

\(\angle MON =
\frac{
\alpha}{2} +
\beta +
\frac{
\alpha}{2} =
\beta +
\beta = 2
\beta\).

Это не совсем прямо.

Альтернативное решение:

Пусть прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные углы. \(\angle COB\) и \(\angle AOD\) — вертикальные углы.

Пусть \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\), а \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\).

Углы \(\angle AOC\) и \(\angle COB\) — смежные, поэтому \(\angle AOC +
\angle COB = 180^\).

Так как \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\), то \(\angle MOC =
\frac{1}{2}
\angle AOC\).

Так как \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\), то \(\angle NOB =
\frac{1}{2}
\angle BOD\).

Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) вертикальные, значит \(\angle AOC =
\angle BOD\).

Углы \(\angle COB\) и \(\angle AOD\) вертикальные, значит \(\angle COB =
\angle AOD\).

Рассмотрим угол \(\angle MON\). Он образован биссектрисами \(OM\) и \(ON\).

Угол \(\angle MON\) можно представить как сумму углов \(\angle MOC\) и \(\angle CON\) (если \(OM\) и \(ON\) находятся по разные стороны от \(OC\)) или через развёрнутый угол.

Угол \(\angle MOC =
\frac{1}{2}
\angle AOC\).

Угол \(\angle NOB =
\frac{1}{2}
\angle BOD\).

Так как \(\angle AOC =
\angle BOD\), то \(
\frac{1}{2}
\angle AOC =
\frac{1}{2}
\angle BOD\), то есть \(\angle MOC =
\angle NOB\).

Рассмотрим прямую \(AB\). Угол \(\angle COB\) и \(\angle AOC\) — смежные. \(\angle AOC +
\angle COB = 180^\).

Так как \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\), то \(\angle NOD =
\frac{1}{2}
\angle BOD\).

Рассмотрим угол \(\angle CON\). Он равен \(\angle COB +
\angle BON\).

Угол \(\angle NOC\) и \(\angle AOM\) являются смежными.

Простейшее доказательство:

Пусть \(\angle AOC =
α\). Тогда \(\angle BOD =
α\). \(\angle COB =
β\). \(\alpha +
\beta = 180^\).

Биссектриса \(OM\) угла \(\angle AOC\) делит его так, что \(\angle MOC =
\frac{
α}{2}\).

Биссектриса \(ON\) угла \(\angle BOD\) делит его так, что \(\angle NOD =
\frac{
α}{2}\).

Углы \(\angle MOC\) и \(\angle COD\) смежные, \(\angle MOC +
\angle COD = 180^\).

Угол \(\angle COD\) равен \(\beta\).

Тогда \(\frac{
α}{2} +
\beta = 180^\).

Но мы знаем, что \(
α +
\beta = 180^\).

Из \(
\frac{
α}{2} +
\beta = 180^\) следует, что \(
\frac{
α}{2} = 0\), что невозможно.

Правильное доказательство:

Пусть \(AB\) и \(CD\) — две пересекающиеся прямые, \(O\) — точка пересечения. \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные углы. \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\), \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\).

Так как \(\angle AOC =
\angle BOD\) (как вертикальные), и \(OM\) и \(ON\) — их биссектрисы, то \(\angle MOC =
\frac{1}{2}
\angle AOC\) и \(\angle NOD =
\frac{1}{2}
\angle BOD\). Следовательно, \(\angle MOC =
\angle NOD\).

Углы \(\angle MOC\) и \(\angle COD\) являются смежными, значит, \(\angle MOC +
\angle COD = 180^\).

Углы \(\angle NOD\) и \(\angle COD\) также являются смежными, значит, \(\angle NOD +
\angle COD = 180^\).

Теперь рассмотрим угол \(\angle MON\). Он образуется лучами \(OM\) и \(ON\).

Угол \(\angle MON\) можно представить как сумму углов \(\angle MOC\) и \(\angle CON\).

Но \(\angle CON =
β +
\frac{
α}{2}\).

Проще:

Пусть \(AB\) и \(CD\) — прямые, пересекающиеся в точке \(O\). \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные. \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\). \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\).

Поскольку \(\angle AOC =
\angle BOD\) (вертикальные), то и их половины равны: \(\angle MOC =
\frac{1}{2}
\angle AOC\) и \(\angle NOD =
\frac{1}{2}
\angle BOD\), следовательно, \(\angle MOC =
\angle NOD\).

Рассмотрим смежные углы \(\angle AOC\) и \(\angle COB\). Их сумма равна \(180^\).

Следовательно, \(\angle COB = 180^ -
\angle AOC\).

Угол \(\angle CON\) является смежным углу \(\angle AON\).

Угол \(\angle CON =
β +
\frac{
α}{2}\).

Угол \(\angle AOM =
\frac{
α}{2}\).

Доказательство через развернутый угол:

Пусть \(AB\) и \(CD\) — пересекающиеся прямые в точке \(O\). \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные. \(OM\) — биссектриса \(\angle AOC\), \(ON\) — биссектриса \(\angle BOD\).

Тогда \(\angle AOC =
\angle BOD\). Значит, \(\angle MOC =
\frac{1}{2}
\angle AOC\) и \(\angle NOB =
\frac{1}{2}
\angle BOD\), откуда \(\angle MOC =
\angle NOB\).

Углы \(\angle COB\) и \(\angle AOD\) — вертикальные, \(\angle COB =
\angle AOD\).

Также \(\angle AOC +
\angle COB = 180^\) (смежные).

Рассмотрим угол \(\angle MON\).

\(\angle MON =
\angle MOC +
\angle COB +
\angle BON\).

Мы знаем, что \(
\frac{1}{2}
\angle AOC +
\angle COB +
\frac{1}{2}
\angle BOD =
\frac{1}{2}
\angle AOC +
\angle COB +
\frac{1}{2}
\angle AOC =
\angle AOC +
\angle COB = 180^\).

Таким образом, \(\angle MON = 180^\), что означает, что точки \(M, O, N\) лежат на одной прямой. Поскольку \(OM\) и \(ON\) являются частями биссектрис, то биссектрисы \(OM\) и \(ON\) лежат на одной прямой.

Итак, биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказано.