Задача 4. а) Длина вектора \(\vec a\) равна 28, угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\) равен 45°, а скалярное произведение \(\vec a\cdot\vec b\) равно \(7\sqrt2\). Найдите длину вектора \(\vec b\). б) Длина вектора \(\vec a\) равна \(8\sqrt{11}\), угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\) равен 120°, а скалярное произведение \(\vec a\cdot\vec b\) равно \(-6\sqrt{11}\). Найдите длину вектора \(\vec b\).

Используем формулу скалярного произведения: \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi\).

а) Подставим данные:

\(7\sqrt2=28|\vec b|\cos45^\circ=28|\vec b|\cdot\frac{\sqrt2}{2}=14\sqrt2|\vec b|\).

Отсюда \(|\vec b|=\frac{7\sqrt2}{14\sqrt2}=\frac12\).

б) Подставим данные:

\(-6\sqrt{11}=8\sqrt{11}|\vec b|\cos120^\circ=8\sqrt{11}|\vec b|\cdot\left(-\frac12\right)=-4\sqrt{11}|\vec b|\).

Отсюда \(|\vec b|=\frac{-6\sqrt{11}}{-4\sqrt{11}}=\frac32\).

Ответ: а) \(\frac12\); б) \(\frac32\).