Задача 30-2. Катер прошел по течению реки расстояние от А до В за 3 часа, а от В до А – за 5 часов. За сколько часов проплывет от А до В плот?

Решение:

Пусть:

• \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч).
• \( v_р \) — скорость течения реки (км/ч).
• \( S \) — расстояние между пунктами А и В (км).

Скорость катера по течению: \( v_к + v_р \).
Скорость катера против течения: \( v_к - v_р \).

По условию задачи:

• Катер прошел от А до В (по течению) за 3 часа: \( S = (v_к + v_р) \cdot 3 \)
• Катер прошел от В до А (против течения) за 5 часов: \( S = (v_к - v_р) \cdot 5 \)

Приравниваем расстояния:

\[ 3(v_к + v_р) = 5(v_к - v_р) \]\[ 3v_к + 3v_р = 5v_к - 5v_р \]\[ 8v_р = 2v_к \]\[ v_к = 4v_р \]

Теперь рассмотрим движение плота:

Плот движется со скоростью течения реки, так как его собственная скорость равна нулю ( \( v_п = 0 \) ).

Скорость плота по течению: \( v_п + v_р = 0 + v_р = v_р \).

Время, за которое плот проплывет расстояние \( S \) от А до В, равно:

\[ t_{плот} = \frac{S}{v_р} \]

Вернемся к уравнению расстояния катера. Возьмем движение по течению:

\[ S = 3(v_к + v_р) \]\[ S = 3(4v_р + v_р) \]\[ S = 3(5v_р) \]\[ S = 15v_р \]

Теперь подставим это значение \( S \) в формулу времени для плота:

\[ t_{плот} = \frac{15v_р}{v_р} \]\[ t_{плот} = 15 \text{ часов} \]

Альтернативное решение через отношение скоростей:

Отношение скоростей катера по течению и против течения:

\[ \frac{v_к + v_р}{v_к - v_р} = \frac{5}{3} \]\[ 3(v_к + v_р) = 5(v_к - v_р) \]\[ 3v_к + 3v_р = 5v_к - 5v_р \]\[ 8v_р = 2v_к \]\[ \frac{v_к}{v_р} = 4 \]

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_р \).

Скорость катера по течению равна \( v_к + v_р = 4v_р + v_р = 5v_р \).

Скорость катера против течения равна \( v_к - v_р = 4v_р - v_р = 3v_р \).

Время движения плота от А до В равно времени, за которое он преодолеет расстояние \( S \) со скоростью \( v_р \).

Время движения катера по течению от А до В равно 3 часа. Значит, \( S = (v_к + v_р) \times 3 = 5v_р \times 3 = 15v_р \).

Время движения плота от А до В:

\[ t_{плот} = \frac{S}{v_р} = \frac{15v_р}{v_р} = 15 \text{ часов} \]

Краткое пояснение:

Скорость плота равна скорости течения реки. Скорость катера по течению в 3 раза больше, чем против течения. Если катер прошел расстояние по течению за 3 часа, то плот пройдет это же расстояние за \( 3 \times \frac{v_к+v_р}{v_р} \) часа. Из соотношения скоростей \( v_к = 4v_р \), поэтому \( v_к+v_р = 5v_р \). Время плота = \( 3 \times \frac{5v_р}{v_р} = 15 \) часов.

Ответ: 15 часов.