Задача 3. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 — остаток 3, при делении на 5 — остаток 4, при делении на 6 — остаток 5, при делении на 7 — остаток 6, при делении на 8 — остаток 7.

Question

Вопрос:

Задача 3. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 — остаток 3, при делении на 5 — остаток 4, при делении на 6 — остаток 5, при делении на 7 — остаток 6, при делении на 8 — остаток 7.

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Эта задача решается с помощью нахождения числа, которое при делении на несколько чисел дает остаток, на единицу меньший делителя. Если заметить, что во всех случаях остаток на 1 меньше делителя, то можно прийти к выводу, что искомое число будет на 1 меньше наименьшего общего кратного (НОК) делителей.

Пошаговое решение:

Анализ остатков:
Заметим, что во всех условиях остаток на 1 меньше делителя:
N ≡ 2 (mod 3) => N + 1 ≡ 0 (mod 3)
N ≡ 3 (mod 4) => N + 1 ≡ 0 (mod 4)
N ≡ 4 (mod 5) => N + 1 ≡ 0 (mod 5)
N ≡ 5 (mod 6) => N + 1 ≡ 0 (mod 6)
N ≡ 6 (mod 7) => N + 1 ≡ 0 (mod 7)
N ≡ 7 (mod 8) => N + 1 ≡ 0 (mod 8)
Находим НОК делителей:
Нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Разложим числа на простые множители:
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2³
НОК(3, 4, 5, 6, 7, 8) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 8 × 3 × 5 × 7 = 24 × 35 = 840.
Находим искомое число:
Поскольку N + 1 кратно всем делителям (3, 4, 5, 6, 7, 8), то N + 1 должно быть кратно их НОК. Наименьшее такое значение N + 1 — это само НОК, то есть 840.
Следовательно, N + 1 = 840.
N = 840 - 1 = 839.

Ответ: 839