Задача № 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно. Из этих точек к прямой АС проведены перпендикуляры DK и ЕР, причем АК = РС и DK = РЕ. Докажите, что ДАВС - равнобедренный.

Question

Вопрос:

Задача № 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно. Из этих точек к прямой АС проведены перпендикуляры DK и ЕР, причем АК = РС и DK = РЕ. Докажите, что ДАВС - равнобедренный.

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Метод: Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, мы будем использовать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, а также свойства равнобедренного треугольника.

Пошаговое решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAKD и ΔCPE.
По условию задачи, DK = PE (катеты) и AK = PC (катеты).
Следовательно, по двум катетам (по первому признаку равенства прямоугольных треугольников), ΔAKD = ΔCPE.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: ∠DAK = ∠ECP.
Углы ∠DAK и ∠ECP являются также углами треугольника ABC (углы при основании AC).
Если в треугольнике ABC углы при основании AC равны, то треугольник ABC является равнобедренным.

Доказано.