Задача 23-2. Определите вид угла АОВ, если точка А(4; 5), точка О(0; 0) и точка В(5; 0). 1) прямой; 2) тупой; 3) развернутый; 4) острый.

Решение:

Чтобы определить вид угла \( \angle AOB \), нужно найти длины сторон \( OA \) и \( OB \), а также длину стороны \( AB \).

Координаты точек: \( O(0; 0) \), \( A(4; 5) \), \( B(5; 0) \).

1. Найдем длину отрезка \( OA \) по формуле расстояния между двумя точками \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \):
   \( OA = \sqrt{(4-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \)
2. Найдем длину отрезка \( OB \):
   \( OB = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \)
3. Найдем длину отрезка \( AB \):
   \( AB = \sqrt{(5-4)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)

Теперь применим теорему косинусов к \( \triangle AOB \), чтобы найти косинус угла \( \angle AOB \). По теореме косинусов:
\( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \)

Подставим найденные значения:

\( (\sqrt{26})^2 = (\sqrt{41})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{41} \cdot 5 \cdot \cos(\angle AOB) \)

\( 26 = 41 + 25 - 10\sqrt{41} \cdot \cos(\angle AOB) \)

\( 26 = 66 - 10\sqrt{41} \cdot \cos(\angle AOB) \)

\( 10\sqrt{41} \cdot \cos(\angle AOB) = 66 - 26 \)

\( 10\sqrt{41} \cdot \cos(\angle AOB) = 40 \)

\( \cos(\angle AOB) = \frac{40}{10\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} \)

Поскольку \( \sqrt{41} \) больше \( \sqrt{16} = 4 \), то \( \frac{4}{\sqrt{41}} < 1 \). Значение \( \cos(\angle AOB) \) положительное, что означает, что угол \( \angle AOB \) является острым (меньше 90 градусов).

Ответ: 4) острый.