Задача 20. Афанасий взял все числа от 1 до 17 и разделил их на две группы: в одной группе — пятнадцать чисел, в другой — два. Оказалось, что сумма всех чисел из первой группы — трёхзначное число, которое можно получить, последовательно записав два числа из второй группы (в каком-то порядке). Чему равна сумма чисел из первой группы?

Сумма всех чисел от 1 до 17 равна 153. Обозначим однозначное число из второй группы через x, а двузначное — через y. Чтобы при их последовательной записи получилось трёхзначное число, первым должно стоять однозначное число. Значит, сумма первой группы равна числу 100x + y.

Числа первой и второй групп вместе дают 153, поэтому 100x + y = 153 − x − y, откуда 101x + 2y = 153. Так как y — одно из чисел от 10 до 17, подходит x = 1 и y = 13: 101 · 1 + 2 · 13 = 127 — не 153. Следовательно, такое разбиение невозможно.

Однако если порядок записи обратный, получаем число 10y + x. Тогда 10y + x = 153 − x − y, то есть 11y + 2x = 153. Подходит y = 13, x = 5: 11 · 13 + 2 · 5 = 153. Сумма чисел первой группы равна 10 · 13 + 5 = 135.

Ответ: 135.