Задача 2. Вершины параллелограмма соединили с серединами сторон параллелограмма двумя способами (см. рисунки). Докажите, что серые четырёхугольники являются параллелограммами.

Обозначим параллелограмм как \(ABCD\), а середины его сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — соответственно \(E\), \(F\), \(G\), \(H\). Используем свойство средней линии треугольника.

В первом случае серый четырёхугольник образован точками пересечения отрезков, соединяющих вершины параллелограмма с серединами противоположных сторон. В каждом из двух треугольников, на которые диагональ параллелограмма делит фигуру, отрезки, соединяющие середины сторон, параллельны соответствующим сторонам параллелограмма. Поэтому у серого четырёхугольника две пары противоположных сторон попарно параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

Во втором случае аналогично рассмотрим треугольники, образованные диагональю параллелограмма. По теореме о средней линии соответствующие стороны серого четырёхугольника параллельны сторонам одного и того же треугольника. Значит, его противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, в обоих случаях серый четырёхугольник имеет две пары параллельных противоположных сторон, поэтому по определению является параллелограммом.

Ответ: оба серых четырёхугольника являются параллелограммами.