Задача 2. Колебательный контур радиоприёмника содержит конденсатор, ёмкость которого 10 нФ. Какой должна быть индуктивность контура, чтобы обеспечить приём волны длиной 300 м?

Решение Задачи 2:

Дано:
Ёмкость конденсатора: \( C = 10 \) нФ = \( 10 \times 10^{-9} \) Ф.
Длина волны: \( \lambda = 300 \) м.
Скорость света: \( c \approx 3 \times 10^8 \) м/с.

Найти:
Индуктивность контура: \( L \).

Решение:
Период электромагнитных колебаний \( T \) в контуре связан с длиной волны \( \lambda \) и скоростью света \( c \) соотношением: \( \lambda = cT \).
Следовательно, период \( T = \frac{\lambda}{c} \).
Угловая частота \( \omega \) связана с периодом \( T \) как \( \omega = \frac{2\pi}{T} \).
Формула Томсона для периода собственных колебаний в колебательном контуре: \( T = 2\pi \sqrt{LC} \) или \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).

Используем формулу Томсона через угловую частоту:

1. Найдем угловую частоту: \( \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} = \frac{2\pi \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{300 \text{ м}} = 2\pi \times 10^6 \) рад/с.
2. Из формулы \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) выразим \( L \): \( \omega^2 = \frac{1}{LC} \) \( \implies L = \frac{1}{\omega^2 C} \).
3. Подставим значения: \( L = \frac{1}{(2\pi \times 10^6 \text{ рад/с})^2 \times (10 \times 10^{-9} \text{ Ф})} \).
4. Рассчитаем: \( L = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^{12} \times 10 \times 10^{-9}} = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^4} \) Гн.
5. Приближенное значение: \( L \approx \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times 10^4} \approx \frac{1}{4 \times 9.86 \times 10^4} \approx \frac{1}{39.44 \times 10^4} \approx 0.0253 \times 10^{-4} \) Гн \( = 0.253 \) мкГн.

Ответ: Индуктивность контура должна быть приблизительно 0.253 мкГн.