Задача 2. а) Найдите сумму всех углов выпуклого пятиугольника. Найдите сумму всех внешних углов выпуклого пятиугольника, взятых по одному при каждой вершине. б) Решите пункт а), заменив пятиугольник n-угольником.

а)

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника:

Разобьём пятиугольник диагоналями из одной вершины на 3 треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°.

3 · 180° = 540°.

Внешний угол при каждой вершине дополняет внутренний до 180°. Поэтому сумма пяти внешних углов равна:

5 · 180° − 540° = 360°.

б)

Выпуклый n-угольник диагоналями из одной вершины можно разбить на n − 2 треугольника. Следовательно, сумма его внутренних углов равна:

\[180°(n-2)\]

Сумма одного внутреннего и соответствующего ему внешнего угла при каждой вершине равна 180°. Поэтому сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине:

\[180°n-180°(n-2)=360°\]

Ответ: у пятиугольника сумма внутренних углов — 540°, внешних — 360°; у выпуклого n-угольника — соответственно 180°(n − 2) и 360°.