Задача 2.1. Докажите, что при равномерном прямолинейном движении точки в плоскости XOY под углом α к координатной оси OX (см. рис. 2.7) со скоростью \(\vec v\) проекции вектора скорости на оси OX и OY равны соответственно \(v_x = v\cos\alpha\), \(v_y = v\sin\alpha\).

Вектор скорости \(\vec v\) направлен под углом \(\alpha\) к положительному направлению оси OX. Его длина равна \(v\).

1. Разложим вектор скорости на составляющие вдоль координатных осей: \(\vec v = \vec v_x + \vec v_y\).
2. Получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу \(v\), прилежащий к углу \(\alpha\) катет \(v_x\) и противолежащий катет \(v_y\).
3. По определению косинуса угла: \(\cos\alpha = \frac{v_x}{v}\), поэтому \(v_x = v\cos\alpha\).
4. По определению синуса угла: \(\sin\alpha = \frac{v_y}{v}\), поэтому \(v_y = v\sin\alpha\).

Ответ: \(v_x = v\cos\alpha\), \(v_y = v\sin\alpha\).