Задача 1 а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать пятерых школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе, где будет капитан, его заместитель и ответственный за счёт?

Решение:

а) Выбор команды без учёта порядка.

Это задача на сочетания, так как порядок выбора школьников не имеет значения. Используем формулу сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество выбираемых элементов.

В данном случае \( n = 30 \) (общее количество учеников в классе) и \( k = 5 \) (количество школьников для команды).

\( C_{30}^5 = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

\( C_{30}^5 = \frac{30}{5 \times 3 \times 2} \times \frac{28}{4} \times 29 \times 27 \times 26 = 1 \times 7 \times 29 \times 27 \times 26 = 142506 \)

б) Выбор команды с учётом порядка.

Это задача на размещения, так как важен порядок выбора (капитан, заместитель, ответственный за счёт — это разные роли). Используем формулу размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

В данном случае \( n = 30 \) (общее количество учеников) и \( k = 3 \) (количество членов команды с ролями).

\( A_{30}^3 = \frac{30!}{(30-3)!} = \frac{30!}{27!} = 30 \times 29 \times 28 = 24360 \)

Ответ: а) 142506 способов; б) 24360 способов.