Задача 10. Мотоциклист проезжает путь от деревни до станции за 0,3 ч. Он выехал из деревни, когда велосипедист, следующий по тому же маршруту со скоростью 15 км/ч, уже отъехал на расстояние 9 км. На станцию велосипедист и мотоциклист прибыли одновременно. На каком расстоянии от велосипедиста был мотоциклист через 10 мин после своего выезда?

Решение:

1. Найдем скорость мотоциклиста. Путь от деревни до станции мотоциклист проезжает за \( 0,3 \) ч. Пусть расстояние от деревни до станции равно \( S \) км. Скорость мотоциклиста \( V_m = \frac{S}{0,3} \) км/ч.
2. Найдем время, которое потребовалось велосипедисту, чтобы проехать \( 9 \) км. \( t_v = \frac{9 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 0,6 \) ч.
3. По условию, мотоциклист выехал, когда велосипедист уже проехал \( 9 \) км. Значит, мотоциклист выехал на \( 0,6 \) ч позже велосипедиста.
4. Так как они прибыли на станцию одновременно, время в пути мотоциклиста на \( 0,6 \) ч меньше времени в пути велосипедиста.
5. Пусть \( t \) — время движения велосипедиста, тогда время движения мотоциклиста — \( t - 0,6 \) ч.
6. Расстояние до станции \( S \) можно выразить через время велосипедиста: \( S = 15t \) км.
7. Также \( S \) можно выразить через время мотоциклиста: \( S = V_m(t - 0,6) \).
8. Подставим \( V_m = \frac{S}{0,3} \): \( S = \frac{S}{0,3}(t - 0,6) \).
9. Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \neq 0 \)): \( 1 = \frac{1}{0,3}(t - 0,6) \).
10. \( 0,3 = t - 0,6 \)
11. \( t = 0,3 + 0,6 = 0,9 \) ч — время движения велосипедиста.
12. Время движения мотоциклиста: \( t_m = t - 0,6 = 0,9 - 0,6 = 0,3 \) ч. Это совпадает с условием задачи.
13. Найдем расстояние до станции: \( S = 15 \text{ км/ч} \times 0,9 \text{ ч} = 13,5 \) км.
14. Скорость мотоциклиста: \( V_m = \frac{13,5 \text{ км}}{0,3 \text{ ч}} = 45 \) км/ч.
15. Через \( 10 \) мин (что равно \( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \) ч) после своего выезда мотоциклист проехал: \( S_{m10} = 45 \text{ км/ч} \times \frac{1}{6} \text{ ч} = 7,5 \) км.
16. Велосипедист за это время (которое равно \( 0,6 \) ч + \( \frac{1}{6} \) ч) проехал: \( S_{v10} = 15 \text{ км/ч} \times (0,6 + \frac{1}{6}) \text{ ч} = 15 \text{ км/ч} \times (\frac{3}{5} + \frac{1}{6}) \text{ ч} = 15 \text{ км/ч} \times \frac{18+5}{30} \text{ ч} = 15 \text{ км/ч} \times \frac{23}{30} \text{ ч} = \frac{23}{2} = 11,5 \) км.
17. Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом через \( 10 \) мин после выезда мотоциклиста: \( S_{v10} - S_{m10} = 11,5 \text{ км} - 7,5 \text{ км} = 4 \) км.

Ответ: 4 км.