Задача 1. По данным чертежа найдите КР.

Решение:

На чертеже дан треугольник KPE. Угол LMK равен 135°, что является внешним углом при вершине M треугольника KMP. Угол KMP является смежным с углом LMK, поэтому его можно найти как 180° - 135° = 45°.

В треугольнике KMP:

• Угол LMK = 135°
• Угол KMP = 180° - 135° = 45°
• Угол MKP = 90° (обозначен прямым углом)

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол MPK:

\( \angle MPK = 180° - \angle KMP - \angle MKP \)

\( \angle MPK = 180° - 45° - 90° = 45° \)

Таким образом, в треугольнике KMP два угла равны по 45° (\( \angle KMP \) и \( \angle MPK \)), значит, треугольник KMP является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, KP = MK.

Также из чертежа видно, что угол KPE равен углу MPK = 45°.

В треугольнике KPE:

• Угол LMK = 135°
• Угол KPE = 45°
• Угол PKE = 180° - 135° = 45°

Угол KPE = 45°, а угол PKE = 45°. Следовательно, треугольник KPE также является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны. То есть KP = KE.

Рассмотрим треугольник MKE. В нём:

• Угол KMP = 45°
• Угол KPE = 45°

В треугольнике KME, угол MEK = 180 - 135 = 45. Угол PKE = 45°.

В треугольнике KPE, углы при основании PE равны: \( \angle KEP = 180 - 135 = 45° \). \( \angle KPE = 45° \). Следовательно, треугольник KPE равнобедренный и KP = KE.

В треугольнике KMP: \( \angle KMP = 180 - 135 = 45° \), \( \angle MKP = 90° \). Тогда \( \angle MPK = 180 - 90 - 45 = 45° \). Следовательно, треугольник KMP равнобедренный и KP = MK.

В треугольнике MKE:

• Угол KMP = 45°
• Угол KME = 135°
• Угол MKP = 90°
• Угол PKE = 90°
• Угол KPE = 45°
• Угол KEP = 180° - 135° = 45°

Угол MEK = 180° - 135° = 45°.

В треугольнике KPE, \( \angle KEP = 45° \) и \( \angle KPE = 45° \). Значит, \( \angle PKE = 180° - 45° - 45° = 90° \).

По условию, KP = KE. Сторона PE = 17 дм.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике KPE, катеты KP и KE равны.

По теореме Пифагора: \( KP^2 + KE^2 = PE^2 \)

Так как KP = KE, то \( 2 \cdot KP^2 = PE^2 \)

\( 2 \cdot KP^2 = 17^2 \)

\( 2 \cdot KP^2 = 289 \)

\( KP^2 = \frac{289}{2} \)

\( KP = \sqrt{\frac{289}{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{2} \) дм.

Ответ: \( \frac{17\sqrt{2}}{2} \) дм.