Задача 1. К потолку комнаты высотой 4 м прикреплена люминесцентная лампа длиной 2 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром 2 м. Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали. Найдите максимальное расстояние между крайними точками полутени на полу.

Решение:

Обозначим:

• Высота комнаты: \( H = 4 \) м.
• Длина лампы: \( L = 2 \) м.
• Высота диска от пола: \( h_d = 2 \) м.
• Диаметр диска: \( D_d = 2 \) м, радиус диска \( R_d = 1 \) м.
• Высота лампы от пола: \( h_l = 4 \) м (так как прикреплена к потолку).

Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали. Летящий от лампы свет будет создавать полутень на полу, если луч проходит через край диска.

Рассмотрим схематический рисунок в боковой проекции:

• Лампа расположена на высоте 4 м.
• Диск расположен на высоте 2 м.
• Полутень будет формироваться на полу (высота 0 м).

Нам нужно найти максимальное расстояние от центра полутени на полу до крайних точек полутени. Центр полутени совпадает с проекцией центра лампы на пол.

Пусть \( x \) — расстояние от точки под лампой до края полутени на полу. Рассмотрим подобный треугольник, образованный источником света (лампой), краем диска и краем полутени на полу.

Пусть \( O_l \) — центр лампы, \( O_d \) — центр диска, \( P \) — точка на полу под лампой. \( A \) — край лампы, \( B \) — край диска, \( C \) — край полутени на полу.

Расстояние от лампы до диска: \( h_{l-d} = h_l - h_d = 4 - 2 = 2 \) м.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные лучом света, проходящим через край диска:

Большой треугольник: вершина — край лампы (например, \( A \)), основание — полутень на полу. Малый треугольник: вершина — край лампы ( \( A \)), основание — край диска ( \( B \)).

Чтобы найти максимальное расстояние, мы должны рассмотреть случаи, когда луч проходит через край диска, и свет от крайних точек лампы достигает пола.

Пусть \( x \) — расстояние от центра полутени на полу до крайней точки полутени. Расстояние от края лампы до края диска по вертикали равно 2 м. Расстояние от края диска до пола равно 2 м.

Рассмотрим подобность треугольников. Пусть \( y \) — расстояние от края диска до края полутени на полу. Тогда \( \frac{y}{R_d} = \frac{h_d}{L/2} \) — это некорректно.

Проведем луч от верхнего края лампы через верхний край диска к полу.

Расстояние от лампы до диска = 2 м. Расстояние от диска до пола = 2 м.

Рассмотрим подобность треугольников. Центр лампы на высоте 4м. Центр диска на высоте 2м. Радиус диска 1м. Полутень на полу.

Пусть \( \text{точка P} \) — проекция центра лампы на пол. \( \text{точка L} \) — середина лампы (на высоте 4 м). \( \text{точка D} \) — середина диска (на высоте 2 м). \( \text{точка D}_{\text{край}} \) — край диска (на высоте 2 м, на расстоянии 1 м от центра).

Рассмотрим луч, идущий от крайнего конца лампы (верхний конец, на высоте 4м, на расстоянии \( \frac{L}{2} = 1 \) м от центра) через край диска (на высоте 2м, на расстоянии \( R_d = 1 \) м от центра) к полу.

Пусть \( x \) — расстояние от \( \text{точки P} \) до крайней точки полутени на полу.

Рассмотрим подобность треугольников. У нас есть два подобных треугольника:

1. Вершина — верхний конец лампы, основание — край диска.
2. Вершина — верхний конец лампы, основание — край полутени на полу.

Высота от верхнего конца лампы до края диска: \( 4 - 2 = 2 \) м. Высота от края диска до пола: \( 2 - 0 = 2 \) м.

Пусть \( r_l = L/2 = 1 \) м (радиус