Задача 1/3. Токарь четвёртого разряда и его ученик за час вместе изготавливают 50 деталей. Ученику для изготовления 50 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 120 деталей. Сколько деталей в час изготовляет токарь?

Составим таблицу для решения задачи на работу:

	Объем работы (A)	Производительность (N)	Время (t)
Токарь	120 дет.	$$N_\text{ток}$$	$$t_\text{ток}$$
Ученик	50 дет.	$$N_\text{уч}$$	$$t_\text{ток} + 2$$
Вместе	$$N_\text{ток} + N_\text{уч}$$	50 дет.	1 час

Обозначим производительность токаря за $$x$$. Тогда ученик делает $$(50-x)$$ деталей в час. Время, которое токарь тратит на изготовление 120 деталей: $$\frac{120}{x}$$. Время, которое ученик тратит на изготовление 50 деталей: $$\frac{50}{50-x}$$. Из условия задачи известно, что ученику требуется на 2 часа больше времени: $$\frac{50}{50-x} - \frac{120}{x} = 2$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{50x - 120(50-x)}{x(50-x)} = 2$$ $$\frac{50x - 6000 + 120x}{50x - x^2} = 2$$ $$\frac{170x - 6000}{50x - x^2} = 2$$ $$170x - 6000 = 2(50x - x^2)$$ $$170x - 6000 = 100x - 2x^2$$ $$2x^2 + 70x - 6000 = 0$$ $$x^2 + 35x - 3000 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 1225 + 12000 = 13225$$ $$\sqrt{D} = 115$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 115}{2} = \frac{80}{2} = 40$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 115}{2} = \frac{-150}{2} = -75$$ Так как производительность не может быть отрицательной, то выбираем $$x = 40$$. Производительность токаря: 40 деталей в час. Ответ: 40