Задача 3. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

Вероятность того, что событие А появится не менее трех раз, означает, что оно может появиться 3, 4 или 5 раз.

Нужно вычислить вероятности для каждого из этих случаев и сложить их.

Используем формулу Бернулли: $$P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m}$$

где:

• n = 5 (количество испытаний)
• p = 0.4 (вероятность появления события А)
• q = 1 - p = 0.6 (вероятность непоявления события А)

1. Вероятность, что событие А появится 3 раза:

$$P_5(3) = C_5^3 (0.4)^3 (0.6)^2 = \frac{5!}{3!2!} (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \times 0.064 \times 0.36 = 0.2304$$

2. Вероятность, что событие А появится 4 раза:

$$P_5(4) = C_5^4 (0.4)^4 (0.6)^1 = \frac{5!}{4!1!} (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \times 0.0256 \times 0.6 = 0.0768$$

3. Вероятность, что событие А появится 5 раз:

$$P_5(5) = C_5^5 (0.4)^5 (0.6)^0 = \frac{5!}{5!0!} (0.4)^5 (0.6)^0 = 1 \times 0.01024 \times 1 = 0.01024$$

Сложим полученные вероятности:

$$P = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744$$

Ответ: 0.31744