Задача 14. Из посёлка в город выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Одновременно с ним из того же посёлка в город выехал мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше. Доехав до города, мотоциклист сразу поехал обратно и через 30 минут после разворота встретил велосипедиста. Сколько километров от посёлка до города? Обоснуйте ответ.

Пошаговое решение:

• Скорость велосипедиста: \( v_1 = 15 \) км/ч.
• Скорость мотоциклиста: \( v_2 = 3 \cdot 15 = 45 \) км/ч.
• Пусть расстояние от посёлка до города равно \( S \) км.
• Время, которое мотоциклист ехал до города: \( t_1 = \frac{S}{45} \) ч.
• Мотоциклист развернулся и ехал обратно 0,5 часа до встречи с велосипедистом.
• Велосипедист за это время проехал \( 0,5 \cdot 15 = 7,5 \) км.
• Расстояние, которое проехал мотоциклист обратно: \( 45 \cdot 0,5 = 22,5 \) км.
• Тогда уравнение: \( S + 7,5 = 22,5 \)
• Решаем: \( \frac{S}{45} + 0,5 = \frac{S - 22,5}{15} \). \( \frac{S}{45} \) это время до города, 0,5 часа мотоциклист ехал обратно до встречи. \( (S-22,5)/15 \) это время которое велосипедист потратил на дорогу. Значит они равны.
• \( S = \frac{45(S - 22,5)}{15} - \frac{15 \cdot 0,5}{15} \) или \( 15S = 45S - 45 \cdot 22,5 - 15 \cdot 45 \cdot 0,5 \)
• Получаем \(S/45 + 0.5 = (S - 22.5)/15 \), откуда \(S + 22.5 = 3S - 67.5 \), значит \(2S = 90 \) и \(S = 45 \).
• Расстояние: 45 км.

Ответ: 45 километров