Задача 4. CD = 50°, CD : AMB = 1: 3. Найдите угол АКВ.

Решение:

1. Найдем градусную меру дуги AMB:

   По условию, CD : AMB = 1 : 3, значит, градусная мера дуги AMB в 3 раза больше градусной меры дуги CD.

   \[\stackrel{\smile}{AMB} = 3 \cdot \stackrel{\smile}{CD} = 3 \cdot 50^\circ = 150^\circ\]

2. Найдем величину угла ACB:

   Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AMB. Значит, величина угла ACB равна половине градусной меры дуги AMB.

   \[\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\smile}{AMB} = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ\]

3. Найдем величину угла ADB:

   Угол ADB - вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Значит, величина угла ADB равна половине градусной меры дуги CD.

   \[\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\smile}{CD} = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ\]

4. Рассмотрим четырехугольник AKBD:

   Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

   В четырехугольнике AKBD углы AKB, ACB, ADB и прямой угол KBD в сумме дают 360°.

5. Найдем величину угла AKB:

   \[\angle AKB = 180^\circ - (\angle ACB + \angle ADB) = 180^\circ - (75^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\]

Ответ: ∠AKB = 80°