Задача 4 (25 баллов) Пуля массы т=50 г пробивает брусок массой М-1 кг, лежащий на горизонтальном столе. При этом ее скорость уменьшилась вдвое. Определить начальную скорость пули v. если брусок продвинулся на расстояние S-2 м. Коэффициент трения бруска о поверхность стола k=0.1 (принять g=10 м/с²).

Для решения этой задачи используем законы сохранения импульса и энергии.

Обозначим:

• (m) – масса пули = 50 г = 0.05 кг
• (M) – масса бруска = 1 кг
• (v) – начальная скорость пули
• (v/2) – конечная скорость пули
• (S) – расстояние, на которое продвинулся брусок = 2 м
• (k) – коэффициент трения = 0.1
• (g) – ускорение свободного падения = 10 м/с²

1. Закон сохранения импульса в момент удара:

$$mv = Mv_б + m\frac{v}{2}$$

где (v_б) - скорость, которую приобрел брусок сразу после удара.

Выразим (v_б):

$$v_б = \frac{mv - m\frac{v}{2}}{M} = \frac{mv}{2M}$$

2. Закон изменения энергии для бруска:

Работа силы трения равна изменению кинетической энергии бруска:

$$A_{тр} = \Delta KE$$

$$A_{тр} = -kMgS$$

$$\Delta KE = \frac{1}{2}Mv_б^2 - 0 = \frac{1}{2}Mv_б^2$$

Отсюда:

$$-kMgS = -\frac{1}{2}Mv_б^2$$

$$kMgS = \frac{1}{2}Mv_б^2$$

$$v_б = \sqrt{2k g S}$$

3. Подставим выражение для (v_б) из закона сохранения импульса:

$$\sqrt{2k g S} = \frac{mv}{2M}$$

4. Выразим начальную скорость пули (v):

$$v = \frac{2M \sqrt{2k g S}}{m}$$

5. Подставим значения:

$$v = \frac{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 2}}{0.05} = \frac{2 \sqrt{4}}{0.05} = \frac{2 \cdot 2}{0.05} = \frac{4}{0.05} = 80 \text{ м/с}$$

Ответ: Начальная скорость пули равна 80 м/с.