Задача 4 (25 баллов) Пуля массы m=50 г пробивает брусок массой М-1 кг, лежащий на горизонтальном столе. При этом ее скорость уменьшилась вдвое. Определить начальную скорость пули v. если брусок продвинулся на расстояние S-2 м. Коэффициент трения бруска о поверхность стола k=0.1 (принять g=10 м/с²).

Обозначим:

• (m) – масса пули, (m = 50) г = (0.05) кг.
• (M) – масса бруска, (M = 1) кг.
• (v) – начальная скорость пули.
• (v/2) – конечная скорость пули.
• (S) – расстояние, на которое продвинулся брусок, (S = 2) м.
• (k) – коэффициент трения бруска о поверхность стола, (k = 0.1).
• (g) – ускорение свободного падения, (g = 10) м/с².

Требуется найти начальную скорость пули (v).

Шаг 1: Запишем закон сохранения импульса для системы «пуля + брусок» в момент пробивания:

$$mv = Mv_{б} + m\frac{v}{2}$$

где (v_{б}) – скорость, которую получил брусок сразу после пробивания пулей.

Шаг 2: Выразим скорость бруска (v_{б}) из закона сохранения импульса:

$$Mv_{б} = mv - m\frac{v}{2} = m\frac{v}{2}$$ $$v_{б} = \frac{mv}{2M}$$

Шаг 3: Рассмотрим движение бруска после пробивания пулей. На брусок действует сила трения, которая совершает работу по остановке бруска. Запишем работу силы трения:

$$A_{тр} = -kMgS$$

Шаг 4: Запишем теорему о кинетической энергии для бруска:

$$A_{тр} = \Delta KE = 0 - \frac{1}{2}Mv_{б}^2$$ $$-kMgS = -\frac{1}{2}Mv_{б}^2$$

Шаг 5: Выразим (v_{б}^2) из теоремы о кинетической энергии:

$$v_{б}^2 = 2k g S$$

Шаг 6: Подставим выражение для (v_{б}) из закона сохранения импульса:

$$(\frac{mv}{2M})^2 = 2k g S$$ $$\frac{m^2v^2}{4M^2} = 2k g S$$

Шаг 7: Выразим начальную скорость пули (v):

$$v^2 = \frac{8k g SM^2}{m^2}$$ $$v = \sqrt{\frac{8k g SM^2}{m^2}} = \frac{2M}{m}\sqrt{2k g S}$$

Шаг 8: Подставим численные значения и рассчитаем начальную скорость пули (v):

$$v = \frac{2 \cdot 1}{0.05}\sqrt{2 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 2} = \frac{2}{0.05}\sqrt{4} = \frac{2}{0.05} \cdot 2 = 40 \cdot 2 = 80$$

Ответ: Начальная скорость пули (v = ) 80 м/с.