Задача 6. 4 балла] На клетчатой плоскости был нарисован ромб ABCD с центром О, причём все его четыре вершины и центр лежали в узлах сетки. Однако, как вы видите, стёрто всё, кроме стороны АВ. Отметьте все узлы, где могла бы находиться точка О.

Для решения задачи необходимо понимать свойства ромба:

1. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
2. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка пересечения диагоналей является центром ромба.

Таким образом, центр ромба находится на середине диагонали АВ.

Поскольку все вершины и центр ромба лежат в узлах сетки, то середина отрезка АВ также должна лежать в узле сетки.

Находим середину отрезка АВ:

Из рисунка видно, что координаты точки А (2;5), а координаты точки В (7;6).

Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2}; y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Подставим координаты точек А и В в формулу:

$$x = \frac{2 + 7}{2} = 4.5; y = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$$

Полученные координаты не являются координатами узла сетки. Это значит, что нужно построить ромб АВСD так, чтобы диагонали пересекались в узлах сетки.

Если вершина ромба находится в узле сетки, то и точка О также должна находиться в узле сетки.

Точка О является центром симметрии ромба. Следовательно, если мы отметим точку О, то сможем построить ромб АВСD, отразив вершины А и В относительно точки О.

Для решения задачи нужно найти все точки, относительно которых точки А и В симметричны и которые являются узлами сетки.

Такими точками являются точки, расположенные на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Строим серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Все точки, лежащие на серединном перпендикуляре, будут являться центрами ромба.

На рисунке отметим все узлы, где могла бы находиться точка О.

Данная задача имеет несколько решений, так как на серединном перпендикуляре к отрезку АВ расположено несколько узлов сетки.

Ответ: все узлы, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.