Зачёт № 4. Цилиндр, конус и шар Карточка 1 1. Объясните, какое тело называется цилиндром. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°. 3. Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба. Карточка 2 1. Объясните, какое тело называется конусом. Выведите формулу площади полной поверхности конуса. 2. Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45° к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью. 3. Куб с ребром а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Карточка 3 1. Объясните, какое тело называется усечённым кону сом. Выведите формулу площади полной поверхности усечённого конуса. 2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 90°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 3 см. 3. Около шара радиуса R описан правильный тетраэдр. Найдите площадь поверхности тетраэдра. Карточка 4 1. Объясните, какая поверхность называется сферой и какое тело называется шаром. Исследуйте взаимное рас положение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центра до плоскости. 2. Радиус кругового сектора равен 6 см, а его угол равен 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите площадь полной поверхности конуса. 3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найдите высоту пирамиды. Карточка 5 1. Перечислите возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости. Докажите, что сечение сферы плоскостью есть окружность. 2. Осевое сечение цилиндра поверхности цилиндра. квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найдите площадь боковой 3. В сферу вписан конус, образующая которого равна 1, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найдите площадь сферы. Карточка 6 1. Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите теоремы о касательной плоскости (свойство и признак касательной плоскости). 2. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16л см2. Найдите площадь сферы. 3. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму. Дополнительные вопросы к зачёту 1. Расскажите о возможных случаях взаимного рас положения сферы и прямой. 2. Расскажите о разных видах сечений цилиндрической и конической поверхностей (эллипс, парабола, гипербола)

Карточка 1

1. Цилиндр — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Площадь полной поверхности цилиндра: \[ S = 2\pi r(h + r) \], где r — радиус основания, h — высота.
2. Площадь сечения конуса: \[ S = h^2 \cdot tg(\alpha) \], где h - высота конуса, \(\alpha\) - угол между образующей и плоскостью основания. Подставляем значения: \[ S = 6^2 \cdot tg(30°) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \] см².
3. Площадь поверхности шара: \[ S = 4 \pi R^2 \]. Длина ребра куба, вписанного в шар: \[ a = \frac{2R}{\sqrt{3}} \]. Площадь поверхности куба: \[ S_{куба} = 6a^2 = 6 \cdot \frac{4R^2}{3} = 8R^2 \].

Карточка 2

1. Конус — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Площадь полной поверхности конуса: \[ S = \pi r(r + l) \], где r — радиус основания, l — образующая конуса.
2. Площадь сечения шара: \[ S = \pi r^2 \]. Найдем радиус сечения: \[ r = R \cdot sin(\alpha) = 8 \cdot sin(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \] см. Тогда площадь сечения: \[ S = \pi (4\sqrt{2})^2 = 32\pi \] см².
3. Площадь осевого сечения цилиндра: \[ S = 2a \cdot a = 2a^2 \].

Карточка 3

1. Усечённый конус — это часть конуса, заключённая между основанием и параллельной ему секущей плоскостью. Площадь полной поверхности усечённого конуса: \[ S = \pi (R + r)l + \pi R^2 + \pi r^2 \], где R и r — радиусы оснований, l — образующая.
2. Площадь сечения цилиндра: \[ S = 2 \cdot h \cdot x \]. Найдем x: \[ x = \sqrt{R^2 - r^2} \], где R — радиус основания, r — расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью. Т.к. дуга 90°, то \[ R = r \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \] см. Тогда \[ x = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3 \] см. Площадь сечения: \[ S = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \] см².
3. Площадь поверхности тетраэдра: \[ S = 6\sqrt{3} R^2 \].

Карточка 4

1. Сфера — это множество точек в пространстве, равноудалённых от данной точки (центра). Шар — это тело, ограниченное сферой. Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от её центра до плоскости: если расстояние меньше радиуса, то сфера и плоскость пересекаются; если расстояние равно радиусу, то плоскость касается сферы; если расстояние больше радиуса, то сфера и плоскость не пересекаются.
2. Площадь полной поверхности конуса: \[ S = \pi r(r + l) \], где r — радиус основания, l — образующая конуса. Найдем радиус основания: \[ r = \frac{R \cdot \theta}{360°} = \frac{6 \cdot 120}{360} = 2 \] см. Образующая конуса равна радиусу сектора: \[ l = 6 \] см. Тогда площадь: \[ S = \pi \cdot 2(2 + 6) = 16\pi \] см².
3. Высота пирамиды: \[ h = \sqrt{l^2 - (\frac{2}{3} \cdot m)^2} \], где l - высота конуса, m - медиана основания пирамиды, которая в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы. Гипотенуза равна \[ \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \] см, следовательно, медиана равна 10 см. Таким образом: \[ h = \sqrt{l^2 - (\frac{2}{3} \cdot 10)^2} \]. Т.к. осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то l = 2r, где r - радиус. Тогда \[ r = \frac{1}{2}l = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \] см. Таким образом: \[ h = \sqrt{10^2 - (\frac{2}{3} \cdot 10)^2} = \sqrt{100 - \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{500}{9}} = \frac{10\sqrt{5}}{3} \] см.

Карточка 5

1. Сфера и плоскость могут не пересекаться, касаться в одной точке или пересекаться по окружности. Доказательство: Пусть O — центр сферы, d — расстояние от O до плоскости, R — радиус сферы. Если d < R, то сечение — окружность.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S = 2 \pi r h \]. Т.к. диагональ квадрата равна 12 см, то сторона квадрата равна \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \] см. Тогда радиус основания цилиндра: \[ r = \frac{a}{2} = 3\sqrt{2} \] см, высота цилиндра: \[ h = a = 6\sqrt{2} \] см. Площадь: \[ S = 2 \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 72\pi \] см².
3. Площадь сферы: \[ S = 4\pi R^2 \]. Т.к. угол при вершине осевого сечения равен 60°, то конус равносторонний. Образующая конуса равна 1, тогда радиус основания равен \(\frac{1}{2}\). Радиус сферы равен образующей конуса, т.е. R = 1. Тогда площадь сферы: \[ S = 4\pi \cdot 1^2 = 4\pi \].

Карточка 6

1. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку. Теоремы о касательной плоскости: 1) Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 2) Если плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
2. Площадь сферы: \[ S = 4\pi R^2 \]. Площадь сечения шара плоскостью: \[ S = \pi R^2 = 16\pi \] см². Тогда \[ R^2 = 16 \], отсюда \[ R = 4 \] см. Площадь сферы: \[ S = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi \] см².
3. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S = 2 \pi r h \]. Т.к. диагональ призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°, то высота призмы равна \[ h = d \cdot sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] см. Тогда сторона основания призмы равна \[ a = h = 2\sqrt{2} \] см. Радиус основания цилиндра: \[ r = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \] см. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S = 2 \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \pi \] см².

Дополнительные вопросы к зачёту

1. Сфера и прямая могут не пересекаться, касаться в одной точке или пересекаться в двух точках.
2. Сечения цилиндрической поверхности: окружность, эллипс, прямоугольник. Сечения конической поверхности: окружность, эллипс, парабола, гипербола, треугольник.