За три часа движения по течению реки 4 часа против течения проходит 114 км. Найдите скорость лодки и ее скорость против течения, если за 6 часов движения против течения она проходит такой же путь, как за 5 часов по течению.

Анализ задачи:

Эта задача на движение по реке. Нам нужно найти собственную скорость лодки и скорость течения реки. У нас есть два условия, которые помогут составить систему уравнений.

Обозначения:

• Пусть x — собственная скорость лодки (км/ч).
• Пусть y — скорость течения реки (км/ч).

Скорость по течению: $$x + y$$ (км/ч)

Скорость против течения: $$x - y$$ (км/ч)

Составляем систему уравнений:

Первое условие: За 3 часа по течению и 4 часа против течения пройдено 114 км.

• \[ 3(x + y) + 4(x - y) = 114 \]
• \[ 3x + 3y + 4x - 4y = 114 \]
• \[ 7x - y = 114 \] (Уравнение 1)

Второе условие: За 6 часов против течения проходится такое же расстояние, как за 5 часов по течению.

• \[ 6(x - y) = 5(x + y) \]
• \[ 6x - 6y = 5x + 5y \]
• \[ x = 11y \] (Уравнение 2)

Решаем систему:

1. Подставим значение x из Уравнения 2 в Уравнение 1:

• \[ 7(11y) - y = 114 \]
• \[ 77y - y = 114 \]
• \[ 76y = 114 \]
• \[ y = \frac{114}{76} = 1.5 \]

Значит, скорость течения реки равна 1.5 км/ч.

2. Найдем собственную скорость лодки (x), подставив значение y в Уравнение 2:

• \[ x = 11y = 11(1.5) = 16.5 \]

Значит, собственная скорость лодки равна 16.5 км/ч.

Проверка:

• Расстояние за 3 часа по течению: $$3(16.5 + 1.5) = 3(18) = 54$$ км.
• Расстояние за 4 часа против течения: $$4(16.5 - 1.5) = 4(15) = 60$$ км.
• Общее расстояние: $$54 + 60 = 114$$ км (Соответствует первому условию).
• Расстояние за 6 часов против течения: $$6(16.5 - 1.5) = 6(15) = 90$$ км.
• Расстояние за 5 часов по течению: $$5(16.5 + 1.5) = 5(18) = 90$$ км.
• Расстояния равны (Соответствует второму условию).

Ответ: Скорость лодки — 16.5 км/ч, скорость течения — 1.5 км/ч.