z = x²+2xy-y² + 4x, D: x-y+1=0, x=3, y = 0.

Решение:

Дана функция \( z = x^2 + 2xy - y^2 + 4x \) и область \( D \), ограниченная прямыми \( x - y + 1 = 0 \), \( x = 3 \) и \( y = 0 \).

Найдем частные производные первого порядка:

• \( \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y + 4 \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = 2x - 2y \)

Приравняем частные производные к нулю, чтобы найти критические точки:

• \( 2x + 2y + 4 = 0 \) (1)
• \( 2x - 2y = 0 \) (2)

Из уравнения (2) следует, что \( 2x = 2y \), то есть \( x = y \).

Подставим \( x = y \) в уравнение (1):

\( 2x + 2x + 4 = 0 \)

\( 4x = -4 \)

\( x = -1 \)

Так как \( x = y \), то \( y = -1 \).

Получили критическую точку \( (-1, -1) \).

Проверим, принадлежит ли эта точка области \( D \).

Уравнение границы \( x - y + 1 = 0 \) при \( x = -1 \) и \( y = -1 \) дает: \( -1 - (-1) + 1 = 1 \), что не равно 0. Следовательно, точка \( (-1, -1) \) не лежит на границе \( x - y + 1 = 0 \) и, соответственно, не принадлежит области \( D \).

Рассмотрим границы области:

1. Граница \( y = 0 \), где \( 0 \le x \le 3 \):
   Подставим \( y = 0 \) в функцию: \( z = x^2 + 4x \).
   Найдем производную по \( x \): \( z' = 2x + 4 \).
   Приравняем к нулю: \( 2x + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -2 \). Эта точка вне интервала \( [0, 3] \).
   Значения на концах интервала:
   • При \( x = 0, y = 0 \): \( z = 0^2 + 4(0) = 0 \).
   • При \( x = 3, y = 0 \): \( z = 3^2 + 4(3) = 9 + 12 = 21 \).
2. Граница \( x = 3 \), где \( y \) от 0 до 2 (так как \( x-y+1=0 \) \( \Rightarrow \) \( 3-y+1=0 \) \( \Rightarrow \) \( y=4 \) — это неверно, нужно найти пересечение \( x=3 \) и \( x-y+1=0 \)).
   Из \( x - y + 1 = 0 \) при \( x = 3 \) получаем \( 3 - y + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 4 \). Значит, граница \( x=3 \) идет от \( y=0 \) до \( y=4 \) (если бы не было другого ограничения). Но нас интересует область, где \( y=0 \) и \( x=3 \) являются границами. Посмотрим на рисунок области D. Область D ограничена \( x-y+1=0 \), \( x=3 \) и \( y=0 \). Пересечение \( x=3 \) и \( y=0 \) - это точка (3,0). Пересечение \( x=3 \) и \( x-y+1=0 \) - это (3,4). Пересечение \( y=0 \) и \( x-y+1=0 \) - это (-1,0). Так как \( x \) ограничена \( x=3 \) и \( y \) ограничена \( y=0 \), то область D - это треугольник с вершинами \( (-1,0), (3,0), (3,4) \). Но так как \( x \) идет от \( -1 \) до \( 3 \), а \( y \) от \( 0 \) до \( 4 \) по границе \( x-y+1=0 \). Нас интересует область, ограниченная этими тремя линиями. Точки \( (-1,0), (3,0), (3,4) \) являются вершинами. Но \( x=3 \) и \( y=0 \) пересекаются в \( (3,0) \). \( y=0 \) и \( x-y+1=0 \) пересекаются в \( (-1,0) \). \( x=3 \) и \( x-y+1=0 \) пересекаются в \( (3,4) \). Нас интересует область, где \( x \) от -1 до 3, \( y \) от 0 до 4. В задании сказано \( x=3, y=0 \). Это означает, что \( x \) меняется от какой-то точки до 3, а \( y \) от 0 до какой-то точки. В данном контексте, \( x=3 \) и \( y=0 \) являются граничными условиями, а \( x-y+1=0 \) — другая граница. Область D — это треугольник с вершинами \( (-1,0), (3,0), (3,4) \). Однако, если \( x=3 \) и \( y=0 \) — это граничные условия, то область D, ограниченная \( x-y+1=0, x=3, y=0 \) — это треугольник с вершинами \( (-1,0), (3,0), (3,4) \). Нам нужно проверить эту область. \( x=3 \) идет от \( y=0 \) до \( y=4 \). \( y=0 \) идет от \( x=-1 \) до \( x=3 \). \( x-y+1=0 \) идет от \( (-1,0) \) до \( (3,4) \).
   
   Корректировка области D:
   Область D — это треугольник с вершинами \( (-1,0), (3,0), (3,4) \).
   На границе \( x=3 \) (от \( y=0 \) до \( y=4 \)): \( z(3,y) = 3^2 + 2(3)y - y^2 + 4(3) = 9 + 6y - y^2 + 12 = -y^2 + 6y + 21 \).
   Найдем производную по \( y \): \( z'_y = -2y + 6 \).
   Приравняем к нулю: \( -2y + 6 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 3 \).
   Точка \( (3,3) \) лежит на границе, так как \( 0 \le 3 \le 4 \).
   Значения на концах интервала \( [0, 4] \) для \( y \) на этой границе:
   
   • При \( y = 0 \) (точка \( (3,0) \)): \( z = 21 \).
   • При \( y = 4 \) (точка \( (3,4) \)): \( z = -(4)^2 + 6(4) + 21 = -16 + 24 + 21 = 29 \).
   • В точке \( (3,3) \): \( z = -(3)^2 + 6(3) + 21 = -9 + 18 + 21 = 30 \).
3. Граница \( x - y + 1 = 0 \), т.е. \( y = x + 1 \), где \( x \) от -1 до 3:
   Подставим \( y = x + 1 \) в функцию:
   \( z(x) = x^2 + 2x(x+1) - (x+1)^2 + 4x \)
   \( z(x) = x^2 + 2x^2 + 2x - (x^2 + 2x + 1) + 4x \)
   \( z(x) = 3x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1 + 4x \)
   \( z(x) = 2x^2 + 4x - 1 \).
   Найдем производную по \( x \): \( z' = 4x + 4 \).
   Приравняем к нулю: \( 4x + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \).
   Эта точка является вершиной \( (-1, 0) \).
   Значения на концах интервала \( [-1, 3] \) для \( x \) на этой границе:
   
   • При \( x = -1 \) (точка \( (-1, 0) \)): \( z = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3 \).
   • При \( x = 3 \) (точка \( (3,4) \)): \( z = 2(3)^2 + 4(3) - 1 = 18 + 12 - 1 = 29 \).

Сравниваем все найденные значения:

0 (точка (0,0))
21 (точка (3,0))
29 (точка (3,4))
30 (точка (3,3))
-3 (точка (-1,0))

Наибольшее значение равно 30, наименьшее значение равно -3.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение равно -3.