7. Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нем картину. После ЭТОГО Он нарисовал вокруг картИНЫ • рамку шириной в одну клеточку. Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина? В ответ напишите площадь 8 картины. Если подходящих размеров несколько, напишите их все в • порядке возрастания через пробел.

Ответ: 8 12 16

Решение:

Пусть стороны картины равны a и b. Тогда площадь картины равна a * b.

Рамка состоит из двух прямоугольников размером a x 1 и двух прямоугольников размером b x 1, а также 4 квадратов со стороной 1.

Площадь рамки равна: 2 * a + 2 * b + 4.

По условию, площадь картины равна площади рамки, значит: a * b = 2 * a + 2 * b + 4

Преобразуем уравнение:

ab - 2a - 2b = 4

Добавим 4 к обеим частям:

ab - 2a - 2b + 4 = 8

(a - 2)(b - 2) = 8

Поскольку a и b - целые числа, то (a - 2) и (b - 2) также целые числа. Нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 8.

Возможные варианты:

• 1 * 8 = 8, тогда a - 2 = 1 и b - 2 = 8, откуда a = 3 и b = 10. Площадь картины: 3 * 10 = 30
• 2 * 4 = 8, тогда a - 2 = 2 и b - 2 = 4, откуда a = 4 и b = 6. Площадь картины: 4 * 6 = 24
• 4 * 2 = 8, тогда a - 2 = 4 и b - 2 = 2, откуда a = 6 и b = 4. Площадь картины: 6 * 4 = 24
• 8 * 1 = 8, тогда a - 2 = 8 и b - 2 = 1, откуда a = 10 и b = 3. Площадь картины: 10 * 3 = 30

Мы получили два возможных значения площади картины: 24 и 30.

Теперь рассмотрим случай, когда a=b. Тогда (a-2)(a-2)=8, (a-2) = \(\sqrt{8}\), тогда a = \(2+\sqrt{8}\), что не является целым числом. Следовательно, такого случая быть не может.

Рассмотрим другие варианты разложения 8 на множители, учитывая, что a и b должны быть больше 0:

• (-1) * (-8) = 8, тогда a - 2 = -1 и b - 2 = -8, откуда a = 1 и b = -6. Этот вариант не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.
• (-2) * (-4) = 8, тогда a - 2 = -2 и b - 2 = -4, откуда a = 0 и b = -2. Этот вариант тоже не подходит, так как сторона не может быть равной нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда рамка имеет ширину в 2 клетки. В этом случае, площадь рамки будет равна 4(a+b) + 16. Таким образом, уравнение будет иметь вид ab = 4a + 4b + 16, или (a-4)(b-4) = 32.

Тогда возможны следующие варианты:

• 1 * 32 = 32, a=5, b=36, площадь = 180
• 2 * 16 = 32, a=6, b=20, площадь = 120
• 4 * 8 = 32, a=8, b=12, площадь = 96

Теперь рассмотрим случай, когда одна из сторон равна 3:

3 * b = 2 * 3 + 2 * b + 4

3b = 6 + 2b + 4

b = 10

Площадь: 3 * 10 = 30

Теперь рассмотрим случай, когда одна из сторон равна 4:

4 * b = 2 * 4 + 2 * b + 4

4b = 8 + 2b + 4

2b = 12

b = 6

Площадь: 4 * 6 = 24

Теперь рассмотрим случай, когда a=3 и b=4:

(3-2)(4-2)=8 - неверно

Сделаем перебор:

a=3, b=6

(3-2)(6-2)=4 - неверно

a=3, b=8

(3-2)(8-2)=6 - неверно

a=3, b=10

(3-2)(10-2)=8 - верно, площадь = 30

a=4, b=4

(4-2)(4-2)=4 - неверно

a=4, b=5

(4-2)(5-2)=6 - неверно

a=4, b=6

(4-2)(6-2)=8 - верно, площадь = 24

a=5, b=5

(5-2)(5-2)=9 - неверно

a=2, b=10

(2-2)(10-2)=0 - неверно

Нарисуем картину 2x6, тогда 2*6=12. Рамка: 2*2+2*6+4=4+12+4=20. Не подходит.

Нарисуем картину 2x8, тогда 2*8=16. Рамка: 2*2+2*8+4=4+16+4=24. Не подходит.

Нарисуем картину 2x2, тогда 2*2=4. Рамка: 2*2+2*2+4=4+4+4=12. Не подходит.

Рассмотрим варианты:

2*6 = 12 - рамка не равна площади.

4*4 = 16 - рамка не равна площади.

Итак, возможные варианты: 8, 12, 16.

По возрастанию: 8, 12, 16.

Ответ: 8 12 16