1. Является ли пара чисел (2; -1) решением системы: 3x + 2y = 4, a) 4x² + 4xy - y² = 7; x - y = 3, б) 1 - xy = -1? 2. Решите систему уравнений методом подстановки: x + 3y = 7, a) 3x + 2y = 7; 2x + 5y = 1, б) 3x - y = -7. 3. Решите систему графическим способом: 3x + 2y = 12, 2x - y = 1. 4. Найдите значение выражения 2х + 5у, если х + 2y = 1 и 3x + 4y = -1. 5. При каких значениях параметров а и в решением системы ax + y = b, 4x + ay = 2b является пара чисел (-1; 2)? 6. Найдите все значения параметра к, при которых система 2x - 3y = 1, kx + 2y = 3 не имеет решений. 7. Решите уравнение х² - 4xy + 4y² + (y - 1)² = 0.

1. Является ли пара чисел (2; -1) решением системы:

а)

\[\begin{cases} 3x + 2y = 4, \\ 4x^2 + 4xy - y^2 = 7 \end{cases}\] Подставим x = 2 и y = -1 в каждое уравнение: \[\begin{cases} 3(2) + 2(-1) = 6 - 2 = 4, \\ 4(2)^2 + 4(2)(-1) - (-1)^2 = 16 - 8 - 1 = 7 \end{cases}\] Оба уравнения выполняются, следовательно, пара (2; -1) является решением системы.

б)

\[\begin{cases} x - y = 3, \\ 1 - xy = -1 \end{cases}\] Подставим x = 2 и y = -1 в каждое уравнение: \[\begin{cases} 2 - (-1) = 2 + 1 = 3, \\ 1 - (2)(-1) = 1 + 2 = 3
eq -1 \end{cases}\] Второе уравнение не выполняется, следовательно, пара (2; -1) не является решением системы.

2. Решите систему уравнений методом подстановки:

а)

\[\begin{cases} x + 3y = 7, \\ 3x + 2y = 7 \end{cases}\] Выразим x из первого уравнения: x = 7 - 3y. Подставим это выражение во второе уравнение: 3(7 - 3y) + 2y = 7 21 - 9y + 2y = 7 -7y = -14 y = 2 Теперь найдем x: x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1 Решение: (1; 2).

б)

\[\begin{cases} 2x + 5y = 1, \\ 3x - y = -7 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: y = 3x + 7. Подставим это выражение в первое уравнение: 2x + 5(3x + 7) = 1 2x + 15x + 35 = 1 17x = -34 x = -2 Теперь найдем y: y = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1 Решение: (-2; 1).

3. Решите систему графическим способом:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 12, \\ 2x - y = 1 \end{cases}\] Выразим y из обоих уравнений: y = (12 - 3x) / 2 y = 2x - 1 Построим графики этих функций и найдем точку пересечения. Решением является точка пересечения графиков, которая приблизительно равна (2; 3).

4. Найдите значение выражения 2x + 5y, если x + 2y = 1 и 3x + 4y = -1.

Решим систему уравнений: \[\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x + 4y = -1 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на -3: -3x - 6y = -3 Сложим это уравнение со вторым уравнением: -2y = -4 y = 2 Теперь найдем x: x = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 Найдем значение выражения 2x + 5y: 2(-3) + 5(2) = -6 + 10 = 4

5. При каких значениях параметров a и b решением системы является пара чисел (-1; 2)?

\[\begin{cases} ax + y = b, \\ 4x + ay = 2b \end{cases}\] Подставим x = -1 и y = 2 в каждое уравнение: \[\begin{cases} -a + 2 = b, \\ -4 + 2a = 2b \end{cases}\] Выразим b из первого уравнения: b = -a + 2. Подставим это выражение во второе уравнение: -4 + 2a = 2(-a + 2) -4 + 2a = -2a + 4 4a = 8 a = 2 Теперь найдем b: b = -2 + 2 = 0 Решение: a = 2, b = 0.

6. Найдите все значения параметра k, при которых система не имеет решений.

\[\begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ kx + 2y = 3 \end{cases}\] Система не имеет решений, когда коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны. \[\frac{2}{k} = \frac{-3}{2}
eq \frac{1}{3}\] Решим уравнение \(\frac{2}{k} = \frac{-3}{2}\): -3k = 4 k = -\frac{4}{3} Проверим условие \(\frac{-3}{2}
eq \frac{1}{3}\), оно выполняется. Решение: k = -4/3.

7. Решите уравнение x² - 4xy + 4y² + (y - 1)² = 0.

Представим уравнение в виде: (x - 2y)² + (y - 1)² = 0 Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю: \[\begin{cases} x - 2y = 0, \\ y - 1 = 0 \end{cases}\] Из второго уравнения: y = 1 Подставим это значение в первое уравнение: x - 2(1) = 0 x = 2 Решение: x = 2, y = 1.

Result Card:

Математический маг! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей