Я, Поклонов Артем, 17 группа, 23.02. Лабораторная работа №6. Вычисление площади полной поверхности и объема усеченного конуса. Оборудование: Модель усеченного конуса, линейка, нитка, учебник, справочник, задачник, калькулятор. C = 4 см, C₁ = 2,6 см, L = 7 см. Формулы для вычисления: 1. S_{п.п.у.к.} = S_{бок.н.} + S_{нижн.о.} + S_{верх.} 2. S_{бок.} = \(\pi\) L (r+R) 3. S_{осн. вер.} = \(\pi\) r^2 4. S_{осн. нижн.} = \(\pi\) R^2 5. L = \(\pi\) (H^2 + (R-r)^2) 6. V = \(\frac{1}{3}\) \(\pi\) H \(R^2 + r^2 + R\cdot r\)

Решение:

Дано:

• Большая окружность \( C = 4 \text{ см} \)
• Меньшая окружность \( C_1 = 2,6 \text{ см} \)
• Образующая \( L = 7 \text{ см} \)

Найти:

• Площадь полной поверхности (S_{п.п.у.к.})
• Объем (V)

Формулы:

1. \( S_{п.п.у.к.} = S_{бок.} + S_{нижн.о.} + S_{верх.} \)
2. \( S_{бок.} = \pi L (r+R) \)
3. \( S_{осн. вер.} = \pi r^2 \)
4. \( S_{осн. нижн.} = \pi R^2 \)
5. \( L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2} \)
6. \( V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + r^2 + R\cdot r) \)

Вычисления:

1. Найдем радиусы окружностей:
• \( R = \frac{C}{2\pi} = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi} \text{ см} \)
• \( r = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{2,6}{2\pi} = \frac{1,3}{\pi} \text{ см} \)
2. Найдем высоту конуса (H), используя формулу образующей:
• \( L^2 = H^2 + (R-r)^2 \)
• \( 7^2 = H^2 + (\frac{2}{\pi} - \frac{1,3}{\pi})^2 \)
• \( 49 = H^2 + (\frac{0,7}{\pi})^2 \)
• \( H^2 = 49 - \frac{0,49}{\pi^2} \)
• \( H = \sqrt{49 - \frac{0,49}{\pi^2}} \)
3. Вычислим площадь боковой поверхности:
• \( S_{бок.} = \pi L (r+R) = \pi \cdot 7 \cdot (\frac{1,3}{\pi} + \frac{2}{\pi}) = 7\pi \cdot \frac{3,3}{\pi} = 7 \cdot 3,3 = 23,1 \text{ см}^2 \)
4. Вычислим площади оснований:
• \( S_{осн. вер.} = \pi r^2 = \pi \cdot (\frac{1,3}{\pi})^2 = \pi \cdot \frac{1,69}{\pi^2} = \frac{1,69}{\pi} \text{ см}^2 \)
• \( S_{осн. нижн.} = \pi R^2 = \pi \cdot (\frac{2}{\pi})^2 = \pi \cdot \frac{4}{\pi^2} = \frac{4}{\pi} \text{ см}^2 \)
5. Вычислим площадь полной поверхности:
• \( S_{п.п.у.к.} = 23,1 + \frac{1,69}{\pi} + \frac{4}{\pi} = 23,1 + \frac{5,69}{\pi} \approx 23,1 + 1,81 = 24,91 \text{ см}^2 \)
6. Вычислим объем усеченного конуса:
• \( V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + r^2 + R\cdot r) \)
• \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{49 - \frac{0,49}{\pi^2}} \left( \frac{4}{\pi} + \frac{1,69}{\pi} + \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1,3}{\pi} \right) \)
• \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{49 - \frac{0,49}{\pi^2}} \left( \frac{5,69}{\pi} + \frac{2,6}{\pi^2} \right) \)

Ответ: Площадь полной поверхности усеченного конуса приблизительно равна 24,91 см². Объем усеченного конуса вычисляется по формуле, приведенной выше.