y=arctg (3x+1) + 1/sqrt(-x^2+10x-21)

Решение:

Заданное выражение представляет собой функцию \( y = \operatorname{arctg}(3x+1) + \frac{1}{\sqrt{-x^2+10x-21}} \).

Для нахождения области определения функции необходимо учесть два условия:

1. Выражение под знаком арктангенса \( 3x+1 \) может быть любым действительным числом.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть положительным, так как корень находится в знаменателе дроби: \( -x^2+10x-21 > 0 \).

Решим неравенство \( -x^2+10x-21 > 0 \):

• Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2-10x+21 < 0 \).
• Найдем корни квадратного уравнения \( x^2-10x+21 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7 \).
• Парабола \( y = x^2-10x+21 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2-10x+21 < 0 \) выполняется при \( 3 < x < 7 \).

Таким образом, областью определения функции является интервал \( (3; 7) \).

Ответ: Область определения функции: \( (3; 7) \).