y = 2/3 x^(3/2) - 3x + 1 [4; 9] Узнать

Привет! Давай разберем эту задачку по математике.

У нас есть функция: y = 2/3 * x^(3/2) - 3x + 1

И нас просят что-то узнать на промежутке [4; 9]. Судя по всему, нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная от x^n это n*x^(n-1).

Производная от 2/3 * x^(3/2):

(2/3) * (3/2) * x^((3/2) - 1) = 1 * x^(1/2) = √ x

Производная от -3x:

-3

Производная от 1:

0

Итак, производная y′:

y′ = √ x - 3

Шаг 2: Найдем критические точки

Приравниваем производную к нулю:

√ x - 3 = 0

√ x = 3

Возведем обе стороны в квадрат:

x = 9

Эта точка x = 9 попадает в наш промежуток [4; 9].

Шаг 3: Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке

Значения функции в точках x = 4, x = 9:

При x = 4:

y = (2/3) * 4^(3/2) - 3*4 + 1 = (2/3) * (√ 4)^3 - 12 + 1 = (2/3) * 2^3 - 11 = (2/3) * 8 - 11 = 16/3 - 11 = 16/3 - 33/3 = -17/3 ≈ -5.67

При x = 9:

y = (2/3) * 9^(3/2) - 3*9 + 1 = (2/3) * (√ 9)^3 - 27 + 1 = (2/3) * 3^3 - 26 = (2/3) * 27 - 26 = 2 * 9 - 26 = 18 - 26 = -8

Шаг 4: Определим наибольшее и наименьшее значения

Сравниваем полученные значения:

• -17/3 ≈ -5.67
• -8

Наибольшее значение функции на отрезке [4; 9] равно -17/3 (при x = 4).

Наименьшее значение функции на отрезке [4; 9] равно -8 (при x = 9).

Ответ: Наибольшее значение функции равно -17/3, наименьшее значение равно -8.