11. 9<x<12 3< y 24 a) 2x+3y 7-4 X 2 6) x²-y² 21-2 42 2) Докажите нер-во: a² + b² + 2a-46+570.

Задание 1

Дано: 9 < x < 12 и 3 < y < 4

a) 2x + 3y

Умножим первое неравенство на 2, а второе на 3:

18 < 2x < 24

9 < 3y < 12

Сложим полученные неравенства:

18 + 9 < 2x + 3y < 24 + 12

27 < 2x + 3y < 36

б) \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\)

Так как 9 < x < 12, то \(\frac{1}{12} < \frac{1}{x} < \frac{1}{9}\)

Так как 3 < y < 4, то \(\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}\), тогда \(-\frac{1}{3} < -\frac{1}{y} < -\frac{1}{4}\)

Сложим полученные неравенства:

\(\frac{1}{12} - \frac{1}{3} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y} < \frac{1}{9} - \frac{1}{4}\)

\(\frac{1 - 4}{12} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y} < \frac{4 - 9}{36}\)

\(-\frac{3}{12} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y} < -\frac{5}{36}\)

\(-\frac{1}{4} < \frac{1}{x} - \frac{1}{y} < -\frac{5}{36}\)

в) x² - y²

Так как 9 < x < 12, то 81 < x² < 144

Так как 3 < y < 4, то 9 < y² < 16, тогда -16 < -y² < -9

Сложим полученные неравенства:

81 - 16 < x² - y² < 144 - 9

65 < x² - y² < 135

г) -\(\frac{x}{y^2}\)

Так как 9 < x < 12

Так как 3 < y < 4, то 9 < y² < 16, тогда \(\frac{1}{16} < \frac{1}{y^2} < \frac{1}{9}\)

Умножим первое неравенство на \(\frac{1}{y^2}\):

\(\frac{9}{16} < \frac{x}{y^2} < \frac{12}{9}\)

\(\frac{9}{16} < \frac{x}{y^2} < \frac{4}{3}\)

Умножим на -1:

\(-\frac{4}{3} < -\frac{x}{y^2} < -\frac{9}{16}\)

Задание 2

Доказать неравенство: a² + b² + 2a - 4b + 5 > 0.

Преобразуем выражение:

a² + 2a + 1 + b² - 4b + 4 > 0

(a + 1)² + (b - 2)² > 0

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то сумма квадратов (a + 1)² и (b - 2)² всегда будет больше нуля, если хотя бы одно из слагаемых не равно нулю.