x/(x+1) + 2x/(x-1) = 4x/(x^2-1)

Привет! Давай разберемся с этим примером шаг за шагом.

Дано:

• \[ \frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2-1} \]

Решение:

1. Приводим к общему знаменателю.
   Заметим, что $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$.
   Значит, общий знаменатель для всех дробей - это $$(x+1)(x-1)$$.
   Умножим первую дробь на $$(x-1)$$, а вторую на $$(x+1)$$:
2. \[ \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1} \]
3. Раскрываем скобки в числителях:
4. \[ \frac{x^2 - x}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x^2 + 2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x}{x^2-1} \]
5. Складываем дроби в левой части:
6. \[ \frac{x^2 - x + 2x^2 + 2x}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x}{x^2-1} \]
7. Упрощаем числитель:
8. \[ \frac{3x^2 + x}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x}{x^2-1} \]
9. Теперь у нас есть равенство дробей с одинаковыми знаменателями.
   Значит, можем приравнять числители:
   Важно! Не забываем, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $$x eq 1$$ и $$x eq -1$$.
10. \[ 3x^2 + x = 4x \]
11. Переносим всё в одну сторону и приравниваем к нулю:
12. \[ 3x^2 + x - 4x = 0 \]
13. \[ 3x^2 - 3x = 0 \]
14. Выносим общий множитель $$3x$$ за скобки:
15. \[ 3x(x-1) = 0 \]
16. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
17. \[ 3x = 0 \quad \text{или} \quad x-1 = 0 \]
18. Находим значения $$x$$:
19. \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]
20. Проверяем корни:
    Мы уже выяснили, что $$x$$ не может быть равен 1 (так как знаменатель обратится в ноль). Значит, корень $$x=1$$ нам не подходит.
    Подходит только $$x=0$$.

Ответ: $$x = 0$$