8x-45 x²+15x-132 x+ + 1. x-7 x²-16x+63 3. Решите неравенство:

Преобразуем неравенство:

\[x + \frac{8x - 45}{x - 7} + \frac{x^2 + 15x - 132}{x^2 - 16x + 63} \le 1\]

Приведем к общему знаменателю, предварительно разложив знаменатель второй дроби:

\[x^2 - 16x + 63 = (x - 7)(x - 9)\]

Тогда общий знаменатель: \[(x - 7)(x - 9)\]

Перепишем неравенство с общим знаменателем:

\[\frac{x(x - 7)(x - 9) + (8x - 45)(x - 9) + (x^2 + 15x - 132)}{(x - 7)(x - 9)} \le 1\]

Перенесем 1 в левую часть:

\[\frac{x(x - 7)(x - 9) + (8x - 45)(x - 9) + (x^2 + 15x - 132) - (x - 7)(x - 9)}{(x - 7)(x - 9)} \le 0\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[\frac{x(x^2 - 16x + 63) + (8x^2 - 72x - 45x + 405) + (x^2 + 15x - 132) - (x^2 - 16x + 63)}{(x - 7)(x - 9)} \le 0\]

\[\frac{x^3 - 16x^2 + 63x + 8x^2 - 117x + 405 + x^2 + 15x - 132 - x^2 + 16x - 63}{(x - 7)(x - 9)} \le 0\]

\[\frac{x^3 - 8x^2 - 23x + 210}{(x - 7)(x - 9)} \le 0\]

Заметим, что \[x = 5\] является корнем числителя, так как \[5^3 - 8 \cdot 5^2 - 23 \cdot 5 + 210 = 125 - 200 - 115 + 210 = 0\]

Разделим столбиком \[x^3 - 8x^2 - 23x + 210\] на \[x - 5\]

\[x^3 - 8x^2 - 23x + 210 = (x - 5)(x^2 - 3x - 42)\]

Найдем корни квадратного трехчлена \[x^2 - 3x - 42\]:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 9 + 168 = 177\]

\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{177}}{2}\]

Тогда \[x_1 = \frac{3 - \sqrt{177}}{2} \approx -5.15, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{177}}{2} \approx 8.15\]

Неравенство принимает вид:

\[\frac{(x - 5)(x - \frac{3 - \sqrt{177}}{2})(x - \frac{3 + \sqrt{177}}{2})}{(x - 7)(x - 9)} \le 0\]

Определим знаки на интервалах. Точки: \[-\frac{3 - \sqrt{177}}{2} \approx -5.15, 5, 7, \frac{3 + \sqrt{177}}{2} \approx 8.15, 9\]

Интервалы:

\[(-\infty; -\frac{3 - \sqrt{177}}{2}], [-\frac{3 - \sqrt{177}}{2}; 5], [5; 7), (7; \frac{3 + \sqrt{177}}{2}], [\frac{3 + \sqrt{177}}{2}; 9), (9; +\infty)\]

Решением будут интервалы, где функция меньше или равна нулю.

Таким образом, решение неравенства:

\[x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{177}}{2}] \cup [5; 7) \cup [\frac{3 + \sqrt{177}}{2}; 9)\]

Ответ: \[x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{177}}{2}] \cup [5; 7) \cup [\frac{3 + \sqrt{177}}{2}; 9)\]