x + sqrt(7 + sqrt(x^2 - 6x + 9)) = 4

Question

Accepted Answer

Для решения уравнения \( x + \sqrt{7 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} = 4 \) сначала упростим выражение под вторым корнем:

\( x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \)

Тогда уравнение примет вид:

\[ x + \sqrt{7 + \sqrt{(x-3)^2}} = 4 \]

Так как \( \sqrt{a^2} = |a| \), то:

\[ x + \sqrt{7 + |x-3|} = 4 \]

Рассмотрим два случая для \( |x-3| \):

Тогда \( |x-3| = x-3 \).
Уравнение станет: \( x + \sqrt{7 + (x-3)} = 4 \)
\( x + \sqrt{x+4} = 4 \)
\( \sqrt{x+4} = 4 - x \)
Возведём обе части в квадрат (при условии \( 4 - x \geq 0 \), то есть \( x \leq 4 \)):
\( x+4 = (4-x)^2 \)
\( x+4 = 16 - 8x + x^2 \)
\( x^2 - 9x + 12 = 0 \)
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 81 - 48 = 33 \]
\[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2} \]
Проверим условия \( x \geq 3 \) и \( x \leq 4 \):
\( x_1 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2} \approx \frac{9 + 5.74}{2} \approx 7.37 \) (Не удовлетворяет \( x \leq 4 \))
\( x_2 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2} \approx \frac{9 - 5.74}{2} \approx 1.63 \) (Не удовлетворяет \( x \geq 3 \))
В данном случае решений нет.

Тогда \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).
Уравнение станет: \( x + \sqrt{7 + (3-x)} = 4 \)
\( x + \sqrt{10-x} = 4 \)
\( \sqrt{10-x} = 4 - x \)
Возведём обе части в квадрат (при условии \( 4 - x \geq 0 \), то есть \( x \leq 4 \)):
\( 10-x = (4-x)^2 \)
\( 10-x = 16 - 8x + x^2 \)
\( x^2 - 7x + 6 = 0 \)
Найдем корни этого квадратного уравнения:
\[ (x-1)(x-6) = 0 \]
\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 6 \)
Проверим условия \( x < 3 \) и \( x \leq 4 \):
\( x_1 = 1 \) удовлетворяет обоим условиям (\( 1 < 3 \) и \( 1 \leq 4 \)).
\( x_2 = 6 \) не удовлетворяет условию \( x < 3 \).
Подставим \( x = 1 \) в исходное уравнение для проверки:
\( 1 + \sqrt{7 + \sqrt{1^2 - 6(1) + 9}} = 1 + \sqrt{7 + \sqrt{1 - 6 + 9}} = 1 + \sqrt{7 + \sqrt{4}} = 1 + \sqrt{7 + 2} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 \)
Уравнение верно.

Ответ: x = 1.