x) \( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^9} \)

Решение:

Нужно упростить выражение \( \frac{4^3 \cdot 3^8}{6^9} \).

1. Представим основание \( 4 \) как \( 2^2 \) и основание \( 6 \) как \( 2 \cdot 3 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(2^2)^3 \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^9} \)
3. Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \): \( \frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9} \)
4. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 2^{6-9} \cdot 3^{8-9} = 2^{-3} \cdot 3^{-1} \)
5. Представим отрицательные степени как дроби: \( \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{3^1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \)
6. Умножим дроби: \( \frac{1 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24} \)

Ответ: \( \frac{1}{24} \).