||x| + 4| = 5; ||x| - 1| = 3;

Решение:

1. Решим уравнение:

\( | |x| + 4 | = 5 \)

Так как \( |x| \) неотрицательно, то \( |x| + 4 \) также неотрицательно. Следовательно, модуль можно опустить:

\[ |x| + 4 = 5 \]

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

\[ |x| = 5 - 4 \]

\[ |x| = 1 \]

Это означает, что \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Ответ: \( x = 1, x = -1 \).

2. Решим уравнение:

\( | |x| - 1 | = 3 \)

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: \( |x| - 1 = 3 \)

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

\[ |x| = 3 + 1 \]

\[ |x| = 4 \]

Следовательно, \( x = 4 \) или \( x = -4 \).

Случай 2: \( |x| - 1 = -3 \)

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

\[ |x| = -3 + 1 \]

\[ |x| = -2 \]

Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому этот случай не имеет решений.

Ответ: \( x = 4, x = -4 \).