∫ x³ + 2ˣ + 3sin x + 3cos x dx

Решение:

Для решения данного интеграла, мы проинтегрируем каждый член по отдельности, используя основные правила интегрирования:

1. Интеграл от \( x^3 \): \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \)
2. Интеграл от \( 2^x \): \( \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln(2)} \)
3. Интеграл от \( 3\sin x \): \( \int 3\sin x dx = 3 \int \sin x dx = 3(-\cos x) = -3\cos x \)
4. Интеграл от \( 3\cos x \): \( \int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3\sin x \)
5. Сложим все результаты и добавим константу интегрирования \( C \).

Объединяя все части:

\[ \int (x^3 + 2^x + 3\sin x + 3\cos x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2^x}{\ln(2)} - 3\cos x + 3\sin x + C \]

Ответ: \( \frac{x^4}{4} + \frac{2^x}{\ln(2)} - 3\cos x + 3\sin x + C \)