x^2 - 15x >= 0

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 15x \ge 0 \), сначала найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 15x = 0 \). Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x - 15) = 0 \]

Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 15 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, 0] \), \( [0, 15] \) и \( [15, \infty) \).

Проверим знак выражения \( x^2 - 15x \) на каждом интервале:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)^2 - 15(-1) = 1 + 15 = 16 > 0 \).
• При \( 0 < x < 15 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)^2 - 15(1) = 1 - 15 = -14 < 0 \).
• При \( x > 15 \) (например, \( x = 16 \)): \( (16)^2 - 15(16) = 256 - 240 = 16 > 0 \).

Нас интересуют значения, где \( x^2 - 15x \ge 0 \), то есть где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы \( (-\infty, 0] \) и \( [15, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 0] \cup [15, \infty) \).