∫ (x³ + 1)/x² dx

Решение:

Разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{x^3 + 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + x^{-2} \)

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\( \int (x + x^{-2}) dx = \int x dx + \int x^{-2} dx \)

Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^2}{2} + C_1 \)

\( \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2 \)

Складываем результаты:

\( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C \) (где \( C = C_1 + C_2 \)).

Ответ: \( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C \)