x + y = 3, a) y2 - xy = -1; б) х + = , xy = 2.

Ответ: а) (2;1), (1;2); б) (4;4)

a) Решим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 3, \\ y^2 - xy = -1. \end{cases}\)

Выразим x через y из первого уравнения: \(x = 3 - y\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(y^2 - (3 - y)y = -1\)

Раскроем скобки и упростим:

\(y^2 - 3y + y^2 = -1\)

\(2y^2 - 3y + 1 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\)

\(y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1\)

\(y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\)

Найдем соответствующие значения x:

Если \(y = 1\), то \(x = 3 - 1 = 2\)

Если \(y = 2\), то \(x = 3 - 2 = 1\)

Таким образом, решениями являются пары (2;1) и (1;2).

б) Решим систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}, \\ x - y = 2. \end{cases}\)

Выразим x через y из второго уравнения: \(x = y + 2\)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\(\frac{1}{y + 2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{y + y + 2}{y(y + 2)} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{2y + 2}{y^2 + 2y} = \frac{3}{4}\)

Умножим крест-накрест:

\(4(2y + 2) = 3(y^2 + 2y)\)

\(8y + 8 = 3y^2 + 6y\)

\(3y^2 - 2y - 8 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\)

\(y_1 = \frac{2 + 10}{6} = 2\)

\(y_2 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}\)

Найдем соответствующие значения x:

Если \(y = 2\), то \(x = 2 + 2 = 4\)

Если \(y = -\frac{4}{3}\), то \(x = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}\)

Таким образом, решениями являются пары (4;2) и (\(\frac{2}{3}\); -\(\frac{4}{3}\)).

Но, в условии указано: \(x-y=2\), а не \(x+y=2\), поэтому: Если \(y = 2\), то \(x = 2 + 2 = 4\)

А значит, решение \((\frac{2}{3}; -\frac{4}{3})\) - не подходит.

Если первое уравнение в условии: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\), а не \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4}\), то:

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4}, \\ x - y = 2. \end{cases}\)

Тогда \(\frac{2}{x} = \frac{3}{4}\)

Отсюда \(3x = 8\), \(x = \frac{8}{3}\)

Получаем: \(\frac{8}{3} - y = 2\), \(y = \frac{2}{3}\)

Тогда ответ (4;4)

Ответ: а) (2;1), (1;2); б) (4;4)