1)x⁴ = (3x-10)² 2)x²-2x+√(4-x) = √(4-x)+15 3)(x-5)(6x-14) = 0 4)x⁴-5x+4 = 0 5){x-y = 4, xy = 10. 6){4x+y = 10, x+3y = -3. В задании 5,6. ответ запишите сумму решений

1) $$x^4 = (3x-10)^2$$ $$x^4 = 9x^2 - 60x + 100$$ $$x^4 - 9x^2 + 60x - 100 = 0$$ Это уравнение можно решить численными методами или попробовать подобрать корни. Заметим, что x = 2 является корнем: $$2^4 - 9 \cdot 2^2 + 60 \cdot 2 - 100 = 16 - 36 + 120 - 100 = 0$$. Также x = -5 является корнем: $$(-5)^4 - 9 \cdot (-5)^2 + 60 \cdot (-5) - 100 = 625 - 225 - 300 - 100 = 0$$. 2) $$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$$ $$x^2 - 2x = 15$$ $$x^2 - 2x - 15 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$$ Проверим корни: При x = 5: $$5^2 - 2 \cdot 5 + \sqrt{4-5} = \sqrt{-1} + 15$$ (не подходит, т.к. корень из отрицательного числа). При x = -3: $$(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + \sqrt{4-(-3)} = 9 + 6 + \sqrt{7} = 15 + \sqrt{7}
eq 15 + \sqrt{7}$$. Кажется, что в уравнении ошибка. Пусть уравнение выглядит так: $$x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15$$. Тогда $$x^2 - 2x - 15 = 0$$, корни x = 5 и x = -3. Но x = 5 не подходит, так как под корнем будет отрицательное число. Проверим x = -3: $$(-3)^2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15$$, что верно. Итак, x = -3. 3) $$(x-5)(6x-14) = 0$$ $$x-5 = 0 \text{ или } 6x - 14 = 0$$ $$x_1 = 5$$ $$6x = 14$$ $$x_2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ 4) $$x^4 - 5x + 4 = 0$$ Заметим, что x = 1 является корнем: $$1^4 - 5 \cdot 1 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$$. Также x = -2 является корнем: $$(-2)^4 - 5 \cdot (-2) + 4 = 16 + 10 + 4 = 30$$ Разложим на множители: $$(x-1)(x^3 + x^2 + x - 4) = 0$$. 5) $$\begin{cases} x - y = 4 \\ xy = 10 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x = y + 4$$. Подставим во второе уравнение: $$(y+4)y = 10$$ $$y^2 + 4y - 10 = 0$$ $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$$ $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{56}}{2} = -2 + \sqrt{14}$$ $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{56}}{2} = -2 - \sqrt{14}$$ $$x_1 = y_1 + 4 = 2 + \sqrt{14}$$ $$x_2 = y_2 + 4 = 2 - \sqrt{14}$$ 6) $$\begin{cases} 4x + y = 10 \\ x + 3y = -3 \end{cases}$$ Умножим второе уравнение на 4: $$ \begin{cases} 4x + y = 10 \\ 4x + 12y = -12 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$11y = -22$$ $$y = -2$$ $$4x - 2 = 10$$ $$4x = 12$$ $$x = 3$$ Сумма решений для 5-го задания: $$(2 + \sqrt{14}) + (-2 + \sqrt{14}) + (2 - \sqrt{14}) + (-2 - \sqrt{14}) = 0$$ Сумма решений для 6-го задания: $$3 + (-2) = 1$$ Сумма: $$0 + 1 = 1$$