x³ + 24 · x² + 192 · x + 512 = 27

Краткое пояснение: Для решения уравнения перенесем все в левую часть, применим формулу куба суммы и извлечем корень.

Решение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[x^3 + 24 \cdot x^2 + 192 \cdot x + 512 - 27 = 0\]

\[x^3 + 24 \cdot x^2 + 192 \cdot x + 485 = 0\]

Заметим, что 512 = 8³, 24 = 3 \cdot 8, 192 = 3 \cdot 8² Тогда:

\[x^3 + 3 \cdot 8 \cdot x^2 + 3 \cdot 8^2 \cdot x + 8^3 - 27 = 0\]

Используем формулу куба суммы \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]:

\[(x + 8)^3 - 27 = 0\]

Представим 27 как 3³:

\[(x + 8)^3 - 3^3 = 0\]

Используем формулу разности кубов \[(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]:

\[((x + 8) - 3)((x + 8)^2 + 3(x + 8) + 3^2) = 0\]

\[(x + 5)(x^2 + 16x + 64 + 3x + 24 + 9) = 0\]

\[(x + 5)(x^2 + 19x + 97) = 0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель:

\[x + 5 = 0\]

\[x = -5\]

Рассмотрим второй множитель:

\[x^2 + 19x + 97 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 97 = 361 - 388 = -27\]

Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное решение:

\[x = -5\]

Ответ: -5

Result Card:

Ты – «Математический гений»!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.