03. x²+4x+4, X>-3 y = -X, X<-3 y=m; 1 общ точка

Ответ: y = 1

Решение:

• Рассмотрим функцию y = x² + 4x + 4 при x > -3.
  Это парабола, которую можно переписать как y = (x + 2)².
  Вершина этой параболы находится в точке (-2, 0), и ветви направлены вверх.
• Теперь рассмотрим функцию y = -\frac{3}{x} при x < -3.
  Это гипербола. Найдём значение y при x = -3: y = -\frac{3}{-3} = 1.
• Для того чтобы прямая y = m имела только одну общую точку с графиком функции, она должна проходить через точку (x, y), где y минимально для параболы или гиперболы на заданных интервалах.
• Минимальное значение y для параболы (x + 2)² при x > -3 достигается при x = -2 (вершина параболы), и y = 0.
  Однако, так как x > -3, вершина находится внутри заданного интервала, но x не может быть равен -3.
• Так как x > -3 для параболы и x < -3 для гиперболы, рассмотрим, что происходит при x, стремящемся к -3 с разных сторон:
  • Для параболы: x → -3⁺ (справа), y → (-3 + 2)² = 1.
  • Для гиперболы: x → -3⁻ (слева), y → -\frac{3}{-3} = 1.
• Оба графика стремятся к y = 1 при x, стремящемся к -3.
  Это означает, что прямая y = m будет иметь одну общую точку с графиком функции, когда m = 1.

Ответ: y = 1